الجذور التربيعية والجذور الأخرى
في قسم سابق تعلمنا القوى وكيفية حسابها. في هذه القسم سنتعلم الجذور التربيعية والجذور الأخرى وعلاقتهم بالقوى.
الجذور التربيعية
الجذر التربيعي للعدد a هو عبارة عن عدد غير سالب حاصل تربيعه يساوي a. أي أن حاصل ضرب الجذر التربيعي للعدد a في نفسه يساوي العدد a, حيث أن \(a \geq 0\).
رياضيا نقول أن الجذر التربيعي للعدد \(a\) هو \(\sqrt{a}\) إذا كان:
$$(\sqrt{a})^2=\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}=a$$
حيث \(a \geq 0\) و \(\sqrt{a} \geq 0\).
عادة ما يُسمى الجذر التربيعي للعدد a بــ "جذر a".
مثال على ذلك:
$$3^2=9$$
الطرف الأيسر هو عبارة عن الأساس 3 مرفوع للقوة 2 والطرف الأيمن هو ناتج القوة.
عملية حساب الجذر التربيعي للعدد 9 يعني أننا نبحث عن عدد يكون ناتج تربيعه 9 (عدد مضروب في نفسه ينتج 9).
وتُكتب كما يلي:
$${\sqrt{9}}=3$$
بما أننا نعلم أن \(√9\) هو 3 وأن \(3^2\) هي 9, يمكننا كتابة التعبيرات التالية
$$3^2=9$$
$$(\sqrt{9})^{2}=9$$
الجذر ( أو الجذر التربيعي) لعدد ما يعني أن العدد مرفوع للقوة \(\frac{1}{2}\), ويمكن إدراك هذا المفهوم بتطبيق أحد قوانين القوى وهو (قوى القوى):
$$(\sqrt 9)^2=(9^{\frac{1}{2}})^{2} =9^{\frac{1}{2}\cdot2}=9^1=9$$
وهذا يعني أن
$$ \sqrt{9}=\sqrt[2]{9}={9}^{{}^{\frac{1}{2}}} $$
مفهوم الجذر التربيعي بصورة عامة
$$ \sqrt{a}=\sqrt[2]{a}={a}^{{}^{\frac{1}{2}}} $$
حيث a عدد موجب.
الجذور التكعيبية
من الحالات الشائعة الأخرى أن يكون لديك تعبير كما في المثال التالي:
$$2^3=8$$
في هذه الحالة نعلم أن حاصل تكعيب أو مُكعب العدد 2 \(( 2 \cdot 2 \cdot 2)\) يساوي 8.
يمكننا عكس ذلك وكتابة الجذر الثالث أو الجذر التكعيبي (كما يُسمى) للعدد 8 على النحو التالي:
$$\sqrt[3]{8}=2$$
بنفس الطريقة التي أوضحناها سابقا للجذر التربيعي يمكن كتابة الجذر التكعيبي في هذا المثال كما يلي:
$$\sqrt[3]{8}=8^{\frac{1}{3}}$$
جذور الدرجات الأكبر
الصورة العامة للجذور
$$\sqrt[a]{b}={b}^{{}^{\frac{1}{a}}}$$
مثال على ذلك:
$$\sqrt[4]{10000}=10000^{\frac{1}{4}}=10$$
فإذا أخذنا الجذر الرابع لــ 10000 سنحصل على 10, ما يعني أن العدد 10 مضروب في نفسه أربع مرات يساوي 10000.
قوى (أُسُس) أخرى مثيرة للإهتمام
في هذه القسم حتى الآن تعاملنا مع القوى التي تتكون من عدد صحيح أو كسر اعتيادي بسطه 1 ومقامه عدد صحيح.
ولكن كيف يمكن تفسير التعبير التالي؟
$$5^{\frac{3}{2}}$$
في هذا التعبير الأساس هو 5 والقوة هي الكسر الاعتيادي \(\frac{3}{2}\).
يمكننا استخدام قوانين ضرب القوى في إتجاه آخر متطور ومن ثم الحصول على
$$ {5}^{{}^{\frac{3}{2}}}={5}^{{}^{\frac{2}{2}+\frac{1}{2}}}={5}^{{}^{1}}\cdot {5}^{{}^{\frac{1}{2}}}=5\sqrt{5} $$
هناك طريقة أخرى للتعامل مع هذا التعبير باستخدام قانون (قوى القوى) وهي كما يلي:
$$\\5^{\frac{3}{2}}=5^{3\cdot \frac{1}{2}}=\left ( 5^{\frac{1}{2}} \right )^3 =$$
$$=(\sqrt5)^3=\sqrt5 \cdot\sqrt5 \cdot\sqrt5$$
وباستخدام هاتيّن الطريقتيّن المتطورتيّن تحصلنا على نفس النتيجة.
فيديوهات الدرس (بالسويدية)
في هذا الفيديو سنشرح مفهوم الجذر التربيعي.
في هذا الفيديو سنشرح مفهوم الجذر التربيعي ونأخذ مثالين على ذلك.
هنا سنشرح الجذر التكعيبي والجذور الأُخرى.
مثال على كيفية حَل معادلة تحتوي على \(√x\).
وسيلة مساعدة
هُنا تم استخدام الآلة الحاسبة البيانية (Casio FX-CG20).
شاهد نفس التمرين على الآلة الحاسبة (Casio FX-9750GII).
الآلات الحاسبة البيانية من الماركات الأخرى لديها نفس الوظائف تغريبا.