الأقواس والمتغيرات

في قسم الأعداد الصحية والأعداد الطبيعية تعرفنا على خاصية التوزيع التي تنص على:

$$a(b+c)=ab+ac$$

حيث أن b ,a و c هي أعداد صحيحة (هذه الخاصية تنطبق على الأعداد الحقيقية أيضا, كالأعداد العشرية مثلا)

يمكن توضيح خاصية التوزيع لغةً كما يلي: عندما نضرب العدد a فـي تعبير بين القوسين سيُضرب كل حد داخل القوسين فـي العدد a. وعادة ما نقول ضرب العدد فيما بداخل الأقواس.

خاصية التوزيع هي خاصية مناسبة لتبسيط المعادلات والتعبيرات الرياضية كما سنرى في المثال التالي:

$$\begin{align} 3\cdot (x+4)-8x &=3\cdot x+3\cdot 4-8x=\\ &=3x+12-8x =\\ &=12-5x \end{align}$$

يمكننا أيضا استخدام خاصية التوزيع في الإتجاه العكسي، بحيث نبدأ بجمع الحدود ونعيد كتابة التعبير كحاصل ضرب. وهذا ما يُعرف بتحليل التعبير إلى عوامل (إخراج عامل مشترك من التعبير) وفيما يلي مثال على كيفية تحليل التعبير الجبري إلى عوامل، بحيث نقوم أولا بتبسيط التعبير ثم نحلله بإخراج العامل 6:

$$\begin{align} 4x+7+2x-1 &=6x+6 =\\ &=6\cdot x+6\cdot 1 =\\ &=6(x+1) \end{align}$$

إزالة الأقواس

إذا كان هناك علامة ناقص أمام تعبير داخل قوسين يجب مراعاة القواعد الحسابية التي تعلمناها سابقا في قسم الأعداد السالبة. وجود علامة ناقص أمام القوسين يقتضي أن نقوم بضرب كل ما بداخل القوسين فـي سالب واحد \((-1)\) لإزالة الأقواس.

ولهذا نلاحظ الفرق بين التعبيرين الجبرييّن التاليين:

$$8-5+2 $$

و

$$8-(5+2) $$

في حالة التعبير الثاني الذي يحتوي على قوسين سنحسب أولا ما بداخل الأقواس وفقا لقواعد الأولوية, بالتالي سنحصل على

$$8-(5+2)=8-7=1$$

إذا أردنا بدلا من ذلك إزالة الأقواس أولا قبل عملية حساب ما بداخل القوسين، يجب أن نتذكر أن وجود علامة ناقص خارج القوسين يقتضي وجوب ضرب جميع الحدود الموجودة داخل القوسين فـي \(-1\), أي:

$$ \begin{align} 8-(5+2) &=8+(-1)\cdot (5+2)=\\ &=8+(-1)\cdot 5+(-1)\cdot 2 =\\ &=8+(-5)+(-2)=\\ &=8-5-2=\\ &=8-7=1 \end{align}$$

ويُستخدم هذا الخيار الأخير عندما لا نستطيع تبسيط ما بداخل القوسين إلى حد واحد فقط، وهذا بالضبط عندما يكون لدينا مثلا متغير داخل قوسين كما في المثال التالي:

$$8-(5+2x)=8-5-2x=3-2x$$

يمكننا أن نقول أنه إذا كان لدينا قوسين أمامهما علامة ناقص ستتغير علامة جميع الحدود الموجودة داخل القوسين عند إزالة القوسين، بينما لا تتغير علامة ما بداخل القوسين إذا كان هناك علامة موجب أمام القوسين.

وبصورة عامة يمكن إزالة الأقواس وفقا للقاعدة العامة أدناه:

$$a-(b+c)=a-b-c$$

$$a+(b+c)=a+b+c$$

في حالة وجود عامل أمام القوسين يجب ضرب هذا العامل فـي جميع الحدود داخل القوسين مع مراعاة إشارتي السالب والموجب بنفس الطريقة أعلاه.

وفيما يلي مثال على ذلك، حيث يوجد العامل \((-3)\) أمام القوسين. ستتغير إشارة جميع الحدود داخل القوسين نسبة لوجود إشارة سالب أمام الأقواس وفي الوقت نفسه تُضرب جميع الحدود فـي 3 عند إزالة القوسين (بمعنى آخر تُضرب جميع الحدود فـي \(-3\) ):

$$7-3(x+8)=7-3x-24=-3x-17$$

فيديو الدرس (بالسويدية)