المتتاليات العددية

المتتالية أو المتوالية هي عبارة عن تسلسل من الأعداد كما يمكننا أن نخمن من اسمها. تخضع المتتاليات الى صيغة خاصة ونمط معين وغالبا ما تكون قابلة للتنبؤ.

المتتالية العددية

المتتالية العددية هي عبارة عن تسلسل خاص من الأعداد، بحيث يكون الفرق بين كل عددين متتاليين ثابت.

الأعداد الطبيعية \(\mathbb{N}\) يمكن اعتبارها متتالية عددية لها فرق ثابت يساوي واحد:

$$ 0,\; 1,\; 2,\; 3,\; ...$$

مثال آخر على المتتالية العددية

$$5,\ 10,\ 15,\ 20, ...$$

حيث أن الفرق الثابت هو 5.

$$5,\ (5+5=10),\ (10+5=15),\ (15+5=20), ...$$

يمكن وصف المتتالية العددية رياضايا بتسمية العدد الأول في المتتالية (الحد الأول) بالرمز \(a_{1}\) والفرق الثابت بالرمز \(d\).

بالتالي يمكن كتابة المتتالية العددية بصورة عامة على النحو التالي:

$$ a_{1},\ a_{1}+d,\ a_{1}+2d,\ a_{1}+3d, ...$$

إذا علمنا أن \(a_{1} = 3\) و \(d = 5\) سنحصل على المتتالية العددية التالية

$$3,\; 3+5,\; 3+2\cdot 5,\; 3+3\cdot 5,\;...=3,\; 8,\;13,\;18,\;... $$

من الصيغة العامة للمتتالية العددية يمكننا الحصول على صيغة أي عدد (حد) في المتتالية العددية كما يلي

$$ a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d$$

حيث أن \(a_{n}\) هو أي عدد من أعداد المتتالية (الحد رقم n أو ما يُسمي بالحد النوني). إذا أردنا على سبيل المثال معرفة العدد (الحد) الخامس (\(n=5\)) في المتتالية، حيث أن \(a_{1} = 3\) و \(d = 5\), يمكننا الحصول عليه باستخدام الصيغة العامة لــ \(a_{n}\):

$$ a_{5}=3+(5-1)\cdot 5=3+4\cdot 5=3+20=23$$

مجموع المتتالية العددية

يقال أنه عندما ذهب عالم الرياضيات الشهير كارل فريدريش غاوس إلى المدرسة، تحصل طلاب فصله على مسألة رياضية المطلوب فيها حساب مجموع أول 100 عدد من الأعداد الطبيعية. بدأ الطلاب بنشاط في عملية الجمع

$$1 + 2 = 3, 3 + 3 = 6, 6 + 4 = 10, ...$$

وهكذا كما تعلموا في السابق تماما، ولكن غاوس لم يقم بذلك كما فعل طلاب الفصل. اكتشف غاوس أنه إذا أخذ العدد الأول والعدد الأخير من هذه الأعداد المتسلسلة، أي العديدين 1 و 100 وجمعهما معا سيكون المجموع 101. وإذا أخذ العدد الثاني والعدد قبل الأخير (2 و 99)، سيكون المجموع 101 أيضا وهكذا. فإذا تم تقسيم جميع أعداد هذه المتتالية بهذه الطريقة ستكون عبارة عن 50 زوج من الأعداد، مجموع كل زوج منها يساوي 101. بالتالي يمكن فقط ضرب 50 فـي 101 للحصول على مجموع الأعداد من 1 إلى 100:

$$50 \cdot 101=5050$$

لذلك كان غاوس أول من قدم الإجابة خلال بضع دقائق، ولكن زملائه في الفصل أخذوا وقت أطول. عندما انتهى الدرس اتضح أن غاوس هو الوحيد الذي تحصل على الإجابة الصحيحة. في هذا الرابط Fredrik Wikingsson يتحدث قليلا عن غاوس.

هذه الطريقة التي قيل أن غاوس استخدمها لهذه المهمة يمكن استخدامهما كصيغة لحساب مجموع المتتالية العددية كما يلي:

$$S_{n}=\frac{n\cdot (a_{1}+a_{n})}{2}\\$$

حيث أن \(S_{n}\) هو مجموع n من أعداد المتتالية العددية, \(a_{1}\) هو العدد الأول في المتتالية العددية و \(a_{n}\) هو العدد رقم n (الحد الأخير) في المتتالية العددية.

فإذا أردنا حساب مجموع الـ 100 عدد الأولى من الأعداد الطبيعية، حيث أن \(a_{1} = 1\), \(a_{100} = 100\) و \(n = 100\), سنحصل على

$$S_{100}=\frac{100\cdot (1+100)}{2}=\frac{100\cdot 101}{2}=5050$$

كما هو متوقع حصلنا على نفس الإجابة التي حصل عليها غاوس!

فيديو الدرس (بالسويدية)

في هذا الفيديو نتعلم طريقة حساب مجموع عدد من حدود المتتالية العددية.

وسيلة مساعدة

في هذا التمرين تم استخدام الآلة الحاسبة البيانية (Casio FX-CG20).
شاهد نفس التمرين على الآلة الحاسبة البيانية (Casio FX-9750GII).

الآلات الحاسبة البيانية من الماركات الأخرى لديها نفس الوظائف تقريبا.

هل لديكم تعليقات على المواد الموجودة في هذه الصفحة؟ راسلنا علي: matteboken.arabiska@mattecentrum.se
قراءة الصفحة بلغات أخرى