ضرب وقسمة الكسور

في القسم السابق مررنا على كيفية جمع وطرح الأعداد الكسرية. وفي هذا القسم سنرى كيفية ضرب وقسمة الأعداد الكسرية.

---

ضرب الكسور

ضرب الكسور أمر بسيط جدا. عندما يكون لدينا كسرين نريد ضربهما سنضرب البسطين فـي بعضهما بصورة منفصلة كما سنضرب المقامين فـي بعضهما. للحفاظ على مسار العملية الحسابية الصحيح من الجيد كتابتهما على شريط كسري مشترك واحد.

مثال على كيفية القيام بذلك سنجري عملية الضرب التالية:

$$\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3} $$

نضرب البسطين في بعضهما والمقامين في بعضهما بشكل منفصل ونكتب حاصل ضرب هذين الكسرين على شريط كسري مشترك.

$$\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{3}=\frac{3\cdot1}{4\cdot3}=\frac{3}{12}=\frac14$$

في الخطوة الأخيرة إختصرنا بالقسمة علـى 3 للحصول على إجابة في أبسط صورة.

نأخذ مثال آخر على ضرب الكسور بإجراء عملية الضرب التالية:

$$1\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{5} $$

في هذا التعبير نلاحظ أن العامل الأول هو عدد مكتوب في صورة ممزوجة، وهذه الصورة قابلناها في القسم السابق. لتسهيل حساب حاصل الضرب سنعيد كتابة العامل الأول بحيث يكون في صورة كسر اعتيادي، ثم نضرب العوامل:

$$ \\1\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{5}=\left ( \frac{6}{6} + \frac{1}{6} \right )\cdot \frac{1}{5}=$$

$$=\frac{7}{6}\cdot \frac{1}{5}=\frac{7\cdot 1}{6\cdot 5}=\frac{7}{30}$$

في هذا المثال أعدنا كتابة أحد العوامل أولا، ولكن أجرينا نفس العملية الحسابية التي أجريناها في المثال السابق.

هذه الطريقة التي استخدمناها لحساب حاصل ضرب الكسرين الاعتياديين في هذين المثالين يمكن كتابتها بصورة عامة على النحو التالي:

$$\frac{a}{b}\cdot \frac{c}d=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}=\frac{ac}{bd}$$

بناء على قيّم حاصلي الضرب ac و bd في الصيغة أعلاه قد نحتاج إلى إختصار الكسر ليكون في أبسط صورة له.

قسمة الكسور

يمكننا المواصلة وشرح عملية قسمة الكسور باستخدام ما توصلنا إليه في عملية ضرب الكسور.

كيف يمكن قسمة \(\frac{3}{4}\) علـى \(\frac{4}{5}\) على سبيل المثال؟ حسنا، سنضاعف هذه القسمة بين العددين الكسريين ليصبح المقام يساوي 1 أي بضرب كل من البسط والمقام فـي \(\frac{5}{4}\). وذلك باستخدام ما تعلمناه من عملية الضرب كما يلي:

$$\frac{\,\,\frac{3}{4}\,\,}{\frac{4}{5}}=\frac{\,\,\frac{3}{4}\,{\color{Blue} \cdot\, \frac{5}{4}}\,\,}{\frac{4}{5}\,{\color{Blue} \cdot\, \frac{5}{4}}} $$

سبب اختيار المضاعفة بالكسر \(\frac{5}{4}\) هو لأننا نعلم أن

$$4\cdot5=5\cdot4=20$$

مما يجعل المقام 1:

$$\frac{4}{5}\cdot \frac{5}4=\frac{20}{20}=1$$

نواصل في عمليتنا الحسابية:

$$ \frac{\,\,\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{4}\,\,}{1}=\frac{3\cdot 5}{4\cdot 4}=\frac{15}{16}$$

قسمة عدد علـى \(\frac{4}{5}\) هي نفس عملية ضرب العدد فـي \(\frac{5}{4}\).

يُسمى الكسر \(\frac{5}{4}\) بمقلوب الكسر \(\frac{4}{5}\), وهو ما يعني أننا فقط قمنا بتغيير موقعي البسط والمقام. القسمة علـى كسر اعتيادي هي نفس عملية الضرب فـي مقلوب هذا الكسر. لذلك نأخذ كسر المقام ونقوم بتبديل بسطه بمقامه ثم نضرب في المقلوب.

بشكل عام يمكن كتابة قسمة الكسور الاعتيادية على النحو التالي:

$$ \frac{\,\,\frac{a}{b}\,\,}{\frac{c}{d}}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}$$

فيديوهات الدرس (بالسويدية)

ضرب الكسور.

قسمة الكسور.

مثال على عملية ضرب وقسمة الكسور.

 وسيلة مساعدة

هنا تم حل هذا التمرين بإستخدام الآلة الحاسبة الراسمة (Casio FX-CG20).
شاهد نفس التمرين على الآلة الحاسبة البيانية (Casio FX-9750GII).

الآلات الحاسبة البيانية من العلامات التجارية الأخرى لديها وظائف مماثلة تقريبا.