نظرية فيثاغورس
نظرية فيثاغورس هي واحدة من أشهر النظريات الرياضية، وهي توضح العلاقة بين أضلاع المثلث القائم الزاوية. وهذه النظرية يمكننا استخدامها في عدة سياقات مختلفة عندما نتعامل مع المثلثات القائمة الزاوية.
نظرية فيثاغورس
يتألف المثلث القائم الزاوية من ضلعين قصيرين يُعرفان بالضلعين القائمين (متعامدين مع بعضهما) وضلع ثالث أطول منهما وهو ما يُعرف بالوتر. يتقابل الضلعين القئمين عند زاوية قائمة (أي أن مقدارها °90) ويكون الوتر مقابلا لهذه الزاوية القائمة. الشكل أدناه هو شكل نموزجي للمثلث القائم الزاوية مع توضيح الضلعين القائمين والوتر:
يمكن استخدام نظرية فيثاغورس لجميع المثلثات القائمة الزاوية لإيجاد العلاقة بين أطوال الأضلاع الثلاثة كما يلي:
$$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$
حيث أن a و b هما أطوال الضلعين القائمين و c هو طول الوتر.
أي أن مجموع مربعي الضلعين القائمين يساوي مربع طول الوتر وبعبارة أخرى نقول أن مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين.
عند استخدام نظرية فيثاغورس من الضروري جدا تحديد وتر المثلث والضلعين القائمين حتى لا نخلط بينهم.
لننظر إلى مثال على كيفية استخدام نظرية فيثاغورس
لنفرض أن لدينا مثلث قائم الزاوية أطوال ضلعيه القائمين هما 5 سم و 7 سم. فما هو طول الوتر؟
أفرض أن طول الوتر هو \(x\) سم، بالتالي يمكن استخدام نظرية فيثاغورس كما يلي
$$5^{2}+7^{2}=x^{2}$$
$$25+49=x^{2}$$
$$x^{2}=74$$
$$x=\pm \sqrt{74}$$
$$x\approx \pm 8,6$$
ولأن طول المسافة لا يمكن أن يكون بالسالب سيكون طول الوتر حوالي 8,6 سم.
نأخذ مثال آخر
لدينا مثلث قائم الزاوية ونعلم أن طول أحد ضلعيه القائمين هو 3 سم وطول الوتر 5 سم. يمكننا استخدام هذه المُعطيات مع نظرية فبثاغورس للحصول على طول الضلع القائم الثاني للمثلث. نعوض هذه القيّم في نظرية فيثاغورس لإيجاد طول الضلع المجهول \(x\) سم.
$$3^{2}+x^{2}=5^{2}$$
$$9+x^{2}=25$$
$$9+x^{2}\color{Red}{ -9}=25\color{Red}{ -9}$$
$$x^{2}=16$$
$$x=\pm \sqrt{16}$$
$$x=\pm 4$$
ولأن طول المسافة لا يمكن أن يكون سالبا، سيكون طول الضلع القائم الآخر هو 4 سم.
ثلاثيات فيثاغورس
تشمل نظرية فيثاغورس ثلاثة أعداد صحيحة موجبة x, y و z, حيث أن
$$x^{2}+y^{2}=z^{2} $$
هذه الثلاثة أعداد تُسمى بثلاثية فيثاغورس. ويوجد عدد لا نهائي من ثلاثيات فيثاغورس، على سبيل المثال \((1:1:1)\) و \((5:12:13)\).
في المثال الأخير أعلاه لدينا مثال على ثلاثيات فيثاغورس، لأن أطوال أضلاع المثلث هي 3, 4 و 5 سم. ويُسمى هذا النوع بالمثلث المصري.
فيديو الدرس (باللُغه السويديه)
في هذا الفيديو سنتحدث عن ثُلاثيات فيثاغورث وكيفية الحصول عليها.
وسيلة مساعدة
في هذا التمرين تم استخدام الآلة الحاسبة البيانية (Casio FX-CG20).
شاهد نفس التمرين على الآلة الحاسبة البيانية (Casio FX-9750GII).
الآلات الحاسبة البيانية من الماركات الأخرى لديها نفس الوظائف تقريبا.