حَل المعادلات

في هذا القسم سنواصل في بناء ما تعلمناه سابقا عن الصيّغ والمعادلات وسنمر على عدد من الأمثلة على كيفية حَل المعادلات.

نبدأ بصياغة معادلة رياضية مبنية على موقف واقعي

إذا كنا في متجر/دكان واشترينا موز بمبلغ 36 كرونة ونعلم أن سعر الكيلو 6 كرونات, يمكننا حساب وزن الموز الذي اشتريناه بالكيلوجرام. فإذا رمزنا لوزن الموز (بالكيلوجرام) الذي اشتريناه بالحرف \(x\), يمكننا صياغة معادلة رياضية لوصف هذه العملية:

$$6x=36$$

وبالتالي يمكن تفسير المعادلة أعلاه على النحو التالي: لقد اشترينا \(x\) كجم موز حيث كان سعر كيلو الموز 6 كرونات و إجمالي تكلفة الموز كانت 36 كرونة.

تعلمنا في السابق أنه يمكننا تغير أحد طرفي المعادلة كما نريد طالما سنقوم بنفس العملية في كلا الطرفين, بمعني أن نجري نفس العمليات الحسابية في كلا طرفي المعادلة.

يمكن إعادة كتابة المعادلة الرياضية بجمع أو طرح حد من كلا طرفي المعادلة, لكي يصبح المتغير وحده في أحد الطرفين. يمكننا أيضا ضرب طرفي المعادلة فـي عدد معين أو قسمتهما علـى عدد معين.

ما يهمنا هو إجراء نفس العملية الحسابية في كلا طرفي المعادلة الأيسر والأيمن, لكي نحافظ على مبدأ تساوي الطرفين. يجب أن نكون حريصين على أن يكون التعبير في الطرف الأيسر مساويا للتعبير في الطرف الأيمن قبل وبعد إجراء العمليات الحسابية.


فيما يلي بعض الأمثلة على حل المعادلات البسيطة

في المعادلة أدناه سنجمع 4 إلى طرفي المعادلة للحصول على المتغير \(x\) وحده في الطرف الأيسر:

$$x-4=5$$

$$x-4+4=5+4$$

$$x=9$$


في المعادلة التالية سنطرح 5 من طرفي المعادلة للحصول على المتغير \(x\) وحده:

$$x+5=6$$

$$x+5-5=6-5$$

$$x=1$$


في مثال المعادلة التالي سنضرب طرفي المعادلة فـي 8 لإجاد قيمة \(x\)

$$\frac{x}{8}=9$$

$$8\cdot \frac{x}{8}=9\cdot 8$$

$$x=72$$


أخيرا ننظر إلى مثال نقوم فيه بقسمة طرفي المعادلة علـى 10 للحصول على قيمة \(x\)

$$10x=20$$

$$\frac{10x}{10}=\frac{20}{10}$$

$$x=2$$


إذا رجعنا إلى مثالنا عن شراء الموز

يمكننا حساب وزن الموز الذي اشتريناه بالكيلوجرام. نقسم طرفي المعادلة علـى 6 لكي يصبح لدينا \(x\) (عدد كيلوجرامات الموز) وحدها في الطرف الأيسر:

$$6x=36$$

$$\frac{6x}{6}=\frac{36}{6}$$

$$x=6$$


الأمثلة أعلاه تم حَلها بتطبيق عملية رياضية على طرفي المعادلة في خطوة واحدة. يمكننا أيضا حل المعادلات الأكثر تعقيدا بنفس المبدأ، ولكن قد يتطلب الأمر عدة خطوات. ما يهمنا هو أن نتذكر أنه دائما يجب علينا إجراء عمليتي الضرب والقسمة مع جميع حدود طرفي المعادلة. نسيان عملية ضرب أو قسمة جميع ما هو بالطرف الأيسر والطرف الأيمن من الأخطاء الشائعة في العمليات الحسابية الذي يجب علينا أن نعيره الاهتمام.


لنأخذ مثالا على حل معادلة بخطوات متعددة

$$3x+6=9$$

نبدأ بمحاولة وضع الحد \(3x\) وحده في الطرف الأيسر. وذلك عن طريق طرح 6 من طرفي المعادلة كما يلي:

$$3x+6 \;{\color{Red} -\; 6}=9 \;{\color{Red} -\; 6}$$

$$3x=3$$

في الخطوة القادمة نريد التخلص من الــ 3 الموجودة أمام الـ \(x\). نتخلص من العدد 3 بقسمة طرفي المعادلة علـى 3. وهذه هي الخطوة الأخيرة لوضع المتغير \(x\) وحده في الطرف الأيسر:

$$\frac{3x}{3}=\frac{3}{3}$$

$$x=1$$


الإثبات

لإثبات صحة الحل الذي وصلنا إليه يمكننا تعويض قيمة \(x\) التي توصلنا إليها في المعادلة. ومن ثم إذا تحقق تساوي طرفي المعادلة فهذا يعني أن الحل الذي وصلنا اليه هو حل صحيح.

كان لدينا في الأمثلة أعلاه المعادلة التالية

$$x-4=5$$

وكان حَلها هو

$$x=9$$

لإثبات صحة هذا الحل نعوض عن \(x\) في المعادلة بالعدد 9 كما يلي

$$*VL=x-4=9-4=5$$

و

$$*HL=5$$

وهذا يعني أن

$$*VL=HL$$

* VL = الطرف الأيسر, HL = الطرف الأيمن

أي أن الحل صحيح.

عملية إثبات صحة الحل طريقة جيدة للتأكد من عدم وجود خطأ في العملية الحسابية. فإذا توصلنا إلى حل لم يحافظ على التساوي بين طرفي المعادلة عند تعويض قيمة المتغير (أي لم يحقق المعادلة)، فهذا يعني أننا أخطأنا في مكان ما.

المعادلات التي تحتوي على متغيرات في كلا الطرفين

إذا كان هناك معادلة تحتوي على متغيرات في كلا الطرفين (أي في الطرف الأيسر والطرف الأيمن), يمكننا حل هذه المعادلة بمحاولة تجميع كل المتغيرات في طرف واحد.

على سبيل المثال لدينا المعادلة

$$5x=380-42x$$

سنقوم أولا بجمع \(42x\) إلى طرفي المعادلة, بحيث لا يكون لدينا أي حد من حدود \(x\) في طرف المعادلة الآخر (في هذه الحالة الطرف الأيمن):

$$5x\;{\color{Red} +\;42x}=380-42x\;{\color{Red} +\;42x}$$

$$47x=380$$

من هنا نقوم بما قمنا به في السابق بالضبط ونقسم طرفي المعادلة علـى 47 لوضع \(x\) وحدها في الطرف الأيسر, كما يلي:

$$\frac{47x}{47}=\frac{380}{47}$$

$$x=\frac{380}{47}\approx 8,09$$

المعادلات التي بها متغيرات في المقام

في بعض المعادلات يكون لدينا تعبير كسري مقامه متغير. تماما كما في السابق يجب علينا القيام بنفس العمليات الحسابية في كلا طرفي المعادلة، للحفاظ على مساواة الطرفين. إذا كان لدينا معادلة

$$\frac{10}{x}=5$$

نضرب كل المعادلة (التعبيرات في الطرف الأيسر والتعبيرات في الطرف الأيمن) فـي \(x\) لنحصل على ما يلي

$$\frac{10}{x}=5\Rightarrow \frac{10\cdot x}{x}=5\cdot x\Rightarrow 10=5x$$

من هنا يمكننا إيجاد قيمة \(x\) بقسمة طرفي المعادلة علـى 5 ونحصل على

$$\frac{10}{5}=\frac{5x}{5}\Rightarrow x=2$$

كما رأينا في العملية الحسابية التي أجريناها أعلاه, اختفت الــ \(x\) في المقام - وتحصلنا على تعبير كسر اعتيادي تم حسابه بالقسمة العادية. هذه هي طريقة الحساب المُستخدمة بصورة شائعة في التعامل مع المعادلات التي تحتوي على تعبيرات كسرية مقامها عبارة عن متغير. بضرب كل المعادلة (الطرفين) فـي هذا المتغير الموجود في المقام يمكن بسهولة المواصلة في حل المعادلة.

الحل العام للمعادلات الخطية

في هذا القسم حتى الآن مررنا على معادلات من الدرجة الأولى, أي المعادلات التي يكون فيها الحد المتغير \(x\) من الدرجة الأولى, وهي تختلف عن المعادلات من الدرجات الأخرى التي تحتوي على الحد \(x^2\) (الدرجة الثانية) على الأقل. عادة ما تُسمى معادلات الدرجة الأولى بالمعادلات الخطية.

يمكن كتابة جميع المعادلات الخطية (بعضها قد يحتاج للتبسيط) في الشكل التالي

$$ax+b=0$$

$$a \neq 0$$

الحل العام للمعادلات الخطية يمكننا الحصول عليه من المعادلة

$$ax+b=0$$

أولا نطرح \(b\) من طرفي المعادلة كما يلي

$$ax+b\;{\color{Red} - \;b}=0\;{\color{Red} - \;b}$$

ما يعطينا

$$ax=-b$$

ثم بعد ذلك نقسم الطرفين علـى \(a\) للحصول على \(x\) وحدها في الطرف الأيسر:

$$\frac{ax}{a}=-\frac{b}{a}\Rightarrow x=-\frac{b}{a}$$

الآن نلخص ما توصلنا إليه:

إذا كان لدينا معادلة من الدرجة الأولى مكتوبة في الشكل

$$ax+b=0$$

حيث أن \(x\) متغير, و \(a\) و \(b\) ثوابت, بالتالي سيكون حل المعادلة هو

$$ x=-\frac{b}{a}$$

فيديوهات الدرس (بالسويدية)

كيفية حَل المعادلات ومثال عليها.

وسيلة مساعدة

هنا أُستخدمت الآلة الحاسبة البيانية (Casio FX-CG20).
شاهد نفس التمرين على الآلة الحاسبة البيانية (Casio FX-9750GII).

الآلات الحاسبة البيانية من الماركات الأخرى لديها نفس الوظائف تقريباً.

هل لديكم تعليقات على المواد الموجودة في هذه الصفحة؟ راسلنا علي: matteboken.arabiska@mattecentrum.se
قراءة الصفحة بلغات أخرى