الأعداد الأولية

كل الأعداد الصحيحة الموجبة يمكن كتابتها كحاصل ضرب 1 في العدد نفسه. على سبيل المثال يمكننا إعادة كتابة 42 كما يلي:

$$42=1\cdot 42$$

وهذه هي عملية ضرب العنصر المحايد كما تعلمناها في دراستنا لخصائص الأعداد الصحيحة.

يمكنا أيضا تحليل العدد 42 إلى عوامل من الأعداد الصحيحة الأخرى، مثل

$$42=2\cdot 21$$

وأيضا

$$42=2\cdot 3\cdot 7$$

الأعداد 2, 3 و 7 لا يمكن تحليلها إلى مزيد من العوامل الصحيحة. مثل هذه الأعداد تُسمى بالأعداد الأولية وفي هذا القسم سنلقي نظرة أقرب الى هذا النوع من الأعداد.

الأعداد الأولية

العدد الأولي p هو عدد صحيح أكبر من 1 (p > 1) وهو العدد الذي يقبل القسمة علـى واحد وعلـى نفسه فقط ولا يقبل القسمة علـى أي عدد موجب آخر. الأعداد الأولية يمكن تحليلها الى عاملين فقط، العدد نفسه والواحد كما يلي

$$p=1\cdot p$$

ولا يمكن تحليلها أكثر من ذلك. أول خمسة أعداد أولية هي 2, 3, 5, 7 و 11.

أي عدد صحيح أكبر من الصفر يمكن تحليله الى عوامل أخرى باستخدام الــ 1 وأعداد أخرى (دون استخدام العدد نفسه) يُسمى عدد مركب، لأنه على الأقل يمكن كتابته كحاصل ضرب عامليّن أولييّن. مثلا العدد 42 الذي بدأنا به هذا القسم هو عدد مركب لأنه يمكن كتابته كحاصل ضرب العوامل الأولية 2, 3 و 7.

المضاعف المشترك الأصغر (م م أ)

مضاعفة العدد a تعني ضربه في عدد آخر k

$$a\cdot k$$

حيث k هو عدد صحيح.

مثلا إذا كان العدد a = 3 :فأن مضاعفاته الأربعة الأولى الموجبة هي

$$3\cdot 1=3$$

$$3\cdot 2=6$$

$$3\cdot 3=9$$

$$3\cdot 4=12$$

وإذا رجعنا الى جداول الضرب سنجد أن مضاعفات أي عدد a هي الأعداد الناتجة في جدول ضربه.

يمكننا أيضا إيجاد مضاعفات عددين أو أكثر. إذا أخذنا العددين 2 و 3, نلاحظ أن لهما مضاعفات مشتركة وهي:

\( (3\cdot 2 \cdot 3=18),\, (3\cdot 2\cdot 2=12),\, (3\cdot 2=6) \) وهكذا.

العدد الأول في هذه المضاعفات هو 6 وهو ما يُسمى بالمضاعف المشترك الأصغر للعدين 2 و 3.

من الجيّد أن نكون قادرين على إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (م م أ) لعددين أو أكثر بحيث يمكن الاستفادة من ذلك عندما نحتاج لاعادة كتابة الكسور الاعتيادية لكي يكون لها مقام مشترك. عادة ما يتم إيجاد المضاعف المشترك لكسرين اعتياديين بضرب المقامين فـي بعضهما. ولكن هذا المضاعف المشترك قد لا يكون الأصغر وهذا يمكن أن ينتج تعبير معقد دون حوجة الى ذلك. بإستخدام الأعداد الأولية يمكننا إيجاد خيار أفضل للمضاعف المشترك مما يؤدي الى كتابة مقامات الكسور في صورة أبسط.

بالنسبة للعددين 2 و 3 كان إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (م م أ) بسيط نسبيا، ولكن كيف يتم ذلك إذا كان على سبيل المثال لدينا العددين 42 و 48, ونريد إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (م م أ) لهاذين العددين؟

المضاعف المشترك للعددين 42 و 48 هو حاصل ضربهما:

$$42\cdot 48=2016$$

لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر (م م أ) للعدين 42 و 48 يمكننا تحليل هذيّن العدين الى عوامل من الأعداد الأولية كما يلي

$$42={\color{Red} 2}\cdot {\color{Red} 3}\cdot 7$$

و

$$48=2\cdot 2\cdot2\cdot{\color{Red} 2}\cdot {\color{Red} 3}$$

نلاحظ أن العددين 42 و 48 يحتويان على العددان 2 و 3 (مكتوبان باللون الأحمر) كعوامل أولية مشتركة.

بالتالي المضاعف المشترك الأصغر (م م أ) هو العدد الذي يحتوي على جميع هذه العوامل الأولية للعددان 42 و 48 مع ملاحظة أن العوامل الأولية المشتركة تُكتب مرة واحدة فقط.

$$MGM(42,\ 48)={\color{Red} 2}\cdot {\color{Red} 3}\cdot 7\cdot 2\cdot 2\cdot 2=336$$

(Minsta Gemensamma Multipel (MGM

تعني المضاعف المشترك الأصغر (م م أ)

غربال إراتوستينس

إراتوستينس هو عالم يوناني وتقريبا عاش في الفترة من 276 - 194 قبل الميلاد. وكان مدير مكتبة الإسكندرية الموجودة الآن في مصر، واخترع من بين أمور أخرى طريقة لحساب حجم الأرض. واشتهر بطريقة تحديد الأعداد الأولية.

تُسمى هذه الطريقة بغربال إراتوستينس وتتكون من الخطوات التالية:

1. أولا إنشاء قائمة بكل الأعداد الصحيحة الأكبر من 1 الى العدد n.
2. أشطب من القائمة كل الأعداد الزوجية الأكبر من 2.
3. من قائمة الأعداد التالية التي لم يتم شطبها حدد الأعداد الأولية.
4. ثم اشطب جميع الأعداد الأكبر من الأعداد الأولية التي حصلت عليها في الخطوة السابقة، وفي الوقت نفسه تُشكل مضاعفات لهذه الأعداد الأولية.
5. الآن كرر الخطوتين 3 و 4 حتى يصبح العدد التالي في القائمة (الغير مشطوب أو غير أولي) أكبر من الجذر التربيعي للعدد n (الحد الأعلى).
6. الآن جميع الأعداد المتبقية في القائمة أعداد أولية.

الطُرق التي تتكون من مجموعة محددة من التعليمات لحل مسألة معينة، مثل طريقة إيجاد الاعداد الأولية أعلاه تُسمى بالخوارزمية.

---

فيديوهات الدرس (بالسويدية)

في هذا الفيديو سنتعرف على الأعداد الأوليه.

هنا سنتعلم كيفية تحليل الأعداد الأوليه إلى عدة عوامل.

هنا سنشرح مفهوم كل من العدد الأولي, العدد المُركب وعوامل الأعداد الأولية.

‏القاسم المشترك الأدنى‏ أو الأصغر (ق. م. أ).

في هذا الفيديو نتعرف على الأعداد الأولية الموجودة بين 1 الى 30 باستخدام طريقة إراتوستينس.