التقدير التقريبي
في حياتنا اليومية, أحيانا قد يكون من الصعب حساب القيّم بدِقة. إذا كنا على سبيل المثال في متجر وأردنا معرفة السعر الكلي للسلع التي نريد شراءها، فقد يكون من الصعب معرفة مجموع كل الكرونات والسنتات (السنت هو جزء من الكرونة وهي العُملة السويدية). في مثل هذه الحالات قد يكون من الأفضل اجراء التقدير التقريبي لإيجاد قيمة تقريبية للسعر الكلي، لكي لا نتفاجأ لحظة دفع المبلغ.
لذلك سندرس في هذا القسم كيفية استخدام التقديرات التقريبية وما يجب وضعه في الاعتبار عند إجراء مثل هذه العمليات الحسابية.
الجمع والطرح
عند عمليتي الجمع والطرح نُقرّب القيّم إلى أقرب قوة للعدد عشرة. مثلا إذا كان لدينا مجموع
$$42+36+78$$
يمكننا تقريب هذه الحدود إلى أقرب عشرة ونحصل على
$$40+40+80=160$$
وإذا حسبنا المجموع بالضبط سنحصل على
$$42+36+78=156$$
نلاحظ أن تقريباتنا أعطت نتيجة قريبة جدا للإجابة الدقيقة. أما مدى دقِة هذه الإجابة التقريبية تعتمد على موضوع العملية الحسابية – مثلا إذا كنت تريد الدفع في متجر بقالة، في هذه الحالة ستكون دِقة هذه الإجابة كافية.
دائما يكون التقريب إلى عشرة مرفوعة لقوة معينة. قد تكون عشرات كما في المثال أعلاه أو قد تكون مئات، آلاف، أعشار، أجزاء من مائة أو ما إلى ذلك.
إذا أخذنا العدد 42 في المثال أعلاه، فإن الرقم الأخير (رقم الآحاد) هو رقم التقريب وهو الرقم الموجود على اليمين (في هذه الحالة هو الــ 2) هذا الرقم هو الذي يحدد اجراء عملية التقريب. فإذا كان رقم التقريب 5 أو أكبر سنقرب إلى الأعلى، أما إذا كان 4 أو أقل فسنقرب إلى الأدنى.
الضرب
عملية التقريب مع الضرب هي نفس العملية مع الجمع والطرح. ولكن في حالة الضرب من المهم جدا معرفة إتجاه التقريب الصحيح, لأن التأثير على ناتج الضرب أكبر.
إذا كان لدينا على سبيل المثال حاصل الضرب
$$3,4\cdot 44$$
وفقا لرقم التقريب (في هذه الحالة هو 4 في كلا العاملين) سنقرب للأدنى. وبالتالي سنحصل على
$$3,4\cdot 44\approx 3\cdot 40=120$$
وبما أننا قربنا للأدنى من المهم أن نتذكر أن ناتج الضرب التقريبي سيكون منخفض. يعتمد مستوى إنخفاض التقدير على مقدار التقريب للأدنى. وفي هذه الحالة تم تقريب العامل الأيمن (44) بصورة كبيرة نسبيا (4 وحدات صحيحة للأسفل) وهذا له تأثير أكبر على ناتج الضرب.
ولكن ماذا سيحدث إذا قربنا كلا العددين للأعلى؟ لنحاول ذلك بالرغم من أنه غير صحيح وفقا لقواعد التقريب.
$$3,4\cdot 44\approx4\cdot 50=200$$
هذا التقدير كبير وإذا قارناه مع التقدير الأول نلاحظ أن الفرق 80.
إذن ما هو التقدير الأفضل؟ لنحسب ناتج الضرب بصورة أكثر دقة ونقارن
$$3,4\cdot 44=149,6$$
الحسابات التقريبية كانت بعيدة قليلا عن الإجابة الصحيحة. لذلك من المهم تحديد مقدار التقريب وفي أي إتجاه. وذلك لتحديد مقدار إنخفاض و إرتفاع التقدير.
القسمة
عملية التقريب مع القسمة هي نفس العملية مع الضرب, الجمع والطرح. لكن في هذه الحالة من المهم تقريب كلا العددين في نفس الإتجاه. فإذا تم تقريب الأعداد في إتجاهين مختلفين سيكون التأثير على ناتج القسمة أكبر وسيزداد عدم اليقين على الإجابة.
الأرقام الفعالة (أرقام القيمة)
في الأقسام الفرعية الواردة أعلاه، قمنا بتقريب الأعداد لنتمكن من التعامل معها بشكل أكثر سهولة. تقريب الأعداد المستخدمة في العمليات الحسابية أمر شائع جدا، خاصة عندما يتم أخذ الأعداد عن طريق نوع من القياس. السؤال الذي يطرح نفسه هو ما مدى دقة الاعداد المستخدمة بالفعل؟ الأرقم الفعالة هي التي تُجيب على هذا السؤال.
مثلا إذا قال أنتون أن هناك متجر بقالة يبعد عن منزله 500 متر، هل هذا يعني أن المسافة 500 متر بالضبط؟
من المحتمل أن تكون هذه المسافة بالتقريب وإذا أخذنا شريط قياس (طويل جدا) وقسنا المسافة بين منزل أنتون ومتجر البقالة ربما نحصل على أن هذه المسافة عبارة عن 537 متر.
فهذا لا يعني أن أنتون لم يذكر المسافة الحقيقة الي البقالة. فهو على الأرجح قام بتقريب المسافة إلى المئات الصحيحة. فعندما قال أنتون أن المسافة الى البقالة هي 500 متر، فهذا يعني أن البقالة يمكن أن تكون على بُعد 450 الى 550 متر (وهي المسافة الفعلية).
عادة ما نتحدث عن مبدأ عدم اليقين في جميع القياسات. فعندما تحاول قياس شيء ما بدقة، هناك دائما مخاطرة بعدم الحصول على القيمة الصحية بالضبط. مثلا قد ينحني شريط القياس قليلا في مثل هذه الحالات، أو قد لا تتمكن من ضغط زر ساعة الإيقاف بالضبط عندما يبدأ صديقك أو زميلك في سباق لمسافة 100 متر على المضمار (ميدان السباق).
يتم تحديد مقدار الشك أو عدم اليقين في مثل هذه القياسات بما يُعرف بالأرقام الفعالة. بصورة أبسط يمكننا أن نقول كلما أخذنا أرقام أكثر كلما زادت دِقة القيمة. فإذا قال أنتون أن المسافة إلى المتجر 500 متر (رقم فعال واحد وهو الــ 5)، فهذا يعني كأنه قال أن المسافة هي ما بين 450 الى 550 متر، أما إذا قلنا أنها 537 متر (ثلاثة أرقام فعالة الـ 5, 3, و7)، كما لو تم قياسها بشريط القياس، فهذا يعني ان المسافة ما بين 536,5 الى 537,5 متر, وهي قيمة أكثر دقة.
قوانين الأرقام الفعالة
| القاعدة | مثال |
| من 1 الى 9 دائما أرقام فعالة. | 42,85 لديه أربعة أرقام فعالة. |
| الصفر فعال عندما يقع بين أعداد. | 42,0085 لديه ستة أرقام فعالة. |
| الصفر فعال عندما يكون في آخر منزلة عشرية. | 42,850 لديه خمسة أرقام فعالة. |
| الصفر غير فعال عندما يكون في بداية المنازل العشرية ويليه رقم فعال. | 0,004285 لديه أربعة أرقام فعالة. |
| الصفر قد يكون فعال عندما يكون في نهاية عدد ما. | 42000 يمكن أن يكون لديه رقمين, ثلاثة, أربعة أو خمسة أرقام فعالة. |
طريقة تحديد الأرقام الفعالة تتم بكتابة العدد في الصيغة العلمية كما تعلمنا في القسم السابق، ومن ثم جميع أرقام العامل الموجود قبل قوة العدد عشرة هي أرقام فعالة. مثلا العدد
$$4,52\cdot 10^{5}$$
يحتوي على ثلاثة أرقام فعالة والعدد
$$4,520\cdot 10^{5}$$
يحتوي على أربعة أرقام فعالة.
بالتالي إذا أردنا تحديد الأرقام الفعالة لعدد ما بصورة واضحة، فسيكون من الجيد كتابة العدد في صيغته العلمية.
إذا رجعنا إلى مثال مسافة البقالة من منزل أنتون، كان بامكانه أن يعطي هذه المسافة في الصيغة العلمية وبذلك يعطي معلومات إضافية عن مدى دقة هذه المسافة (العدد 500 يمكن أن يحتوي على رقم، رقمين أو ثلاثة أرقام فعالة، لأن الأصفار في نهاية عدد ما قد تكون أرقام فعالة كما رأينا في القوانين أعلاه). ففي هذه الحالة هناك مخاطرة باستخدام أنتون لهذا التقدير، من المهم في مثل هذه المواقف تحديد الأرقام الفعالة في هذه المسافة. ولكن ربما كان من الجيد تحديد أنتون لهذه المسافة برقم معنوي واحد 500 متر.
طُرق الحساب مع القيّم التقريبية والأرقام الفعالة
في العمليات الحسابية التي تحتوي على أعداد مُقربة (قيّم تقريبية)، يجب مراعاة الأرقام الفعالة في هذه الأعداد. وذلك بطريقتين مختلفتين حَسب العملية الحسابية:
في عملية جمع وطرح القيّم التقريبية يتم تحديد المنازل العشرية للإجابة وفقا للعدد الذي يحتوي على أقل منازل عشرية. على سبيل المثال:
$$7,25+8,3 \approx 15,6$$
في هذا المثال نلاحظ أن الحد الأول يحتوي على منزلتين عشريتين والحد الثاني يحتوي على منزلة عشرية واحدة فقط. بالتالي عدد المنازل العشرية للإجابة تُحدد وفقا للحد الثاني، أي منزلة عشرية واحدة.
في عملية ضرب وقسمة القيّم التقريبية يتم تحديد عدد الأرقام الفعالة للإجابة وفقا للقيمة التي تحتوي على أقل عدد من الأرقام الفعالة. على سبيل المثال:
$$4,28 \cdot 8,0 \approx 34$$
في هذا المثال نلاحظ أن العامل الأول يحتوي على ثلاثة أرقام فعالة والعامل الثاني يحتوي على رقمين فعاليّن. بالتالي عدد الأرقام الفعالة للإجابة تُحدد وفقا للعامل الثاني, أي عددين فعاليّن فقط.
فيديو الدرس (بالسويدية)
في هذا الفيديو سنتعرف على مفهوم الأرقام الفعاله.
عملية اجراء الحسابات التقريبية لمعرفة تكلفة المشتريات من البقالة.