الاحتمالات
هناك مواقف لا يمكننا أن نعرف ما سيحدث فيها بصورة مؤكدة. على سبيل المثال إذا رمينا عملة معدنية فلا يمكننا معرفة كيفية وقوعها، فهل سيظهر وجه الصورة أم وجه الكتابة. بلا شك قوانين الفيزياء هي التي تحكم حركة العملة وبها يمكن دراسة حركة العملة، ولكن في منظور عامة الناس سكيون احتمال ظهور وجه الصورة مساوي لاحتمال ظهور وجه الكتابة. إذا رمينا العملة عدة مرات فربما نحصل على وجه الصورة خلال نصف عدد هذه الرميات تقريبا وخلال النصف الآخر نحصل على وجه الكتابة – بينما نتيجة الرمية الواحدة فستعتمد على الصدفة ولكن احتمال وقوع حدث معين من الأحداث يمكن حسابه.
إذا كان احتمال الحصول على وجه الصورة مساوي لاحتمال الحصول على وجه الكتابة فيُقال أن احتمال الحصول على الصورة هو 0,5 واحتمال الحصول على الكتابة هو 0,5.
عادة ما يشار للإحتمالية بالحرف P, من الكلمة الإنجليزية probability (التي معناها احتمال). يمكن كتابة احتمال الحصول على الصورة كما يلي:
\(=0,5\) (الصورة)P
كما يمكن كتابة احتمال الحصول على الكتابة على النحو التالي:
\(=0,5\) (الكتابة)P
احتمال وقوع أي حدث يكون دائما بين الصفر (0 يعني سوف لن يحدث) و الواحد (1 يعني سيحدث دائما).
الاحتمال 0 يعني أن نسبة احتمال وقوع الحدث هي %0, بينما الاحتمال 1 يعني أن نسبة احتمال وقوع الحدث هي %100 - بالمثل الاحتمال 0,5 يعني ان نسبة احتمال وقوع الحدث هي %50.
التعريف التقليدي للاحتمالات
يمكن تعريف احتمال حدوث الحدث H بصيغة التعريف التقليدي للاحتمالات كما يلي:
$$P(H)=\frac{\Large\text{عدد النتائج المطلوبة}}{\Large\text{عدد النتائج الممكنة}}$$
هذه الصيغة تنطبق على ما يُسمى بالتوزيع المنتظم فقط، التوزيع المنتظم يعني أن إحتمال حدوث كل النتائج الممكنة متساوي. وينطبق هذا على مثال العملة المعدنية أعلاه (حيث أن إحتمال الحصول على وجه الصورة يساوي إحتمال الحصول على وجه الكتابة، فهاتين نتيجتين يمكن حدوثهما). أيضا إذا رمينا نرد عادي له ستة أوجه (حيث أن إحتمال الحصول على كل وجه من الأوجه 1, 2, 3, 4, 5 أو 6 متساوي - وهذه هي الست نتائج التي يمكن حدوثها عندما نرمي نرد ذو ستة أوجه).
مثال على أستخدام التعريف التقليدي للاحتمالات
ما هو احتمال الحصول على الــ 5 عندما نرمي نرد ذو ستة أوجه؟
عدد النتائج المطلوبة (الإيجابية) = 1 (لدينا 5 واحدة فقط في النرد)
عدد النتائج الممكنة = 6 (يحتوي النرد على ستة أوجه ولذلك لدينا ست نتائج يمكن حدوثها).
$$P(5)=\frac{1}{6}\approx0,167$$
إذن إذا رمينا النرد العادي ذو الستة أوجه فمن المتوقع أن نحصل على الوجه 5 بنسبة %16,7 تقريبا.
الاحتمالات التجريبية
في بعض الأحيان عندما نحسب الاحتمالات لا يمكننا مسبقا معرفة مقدار احتمال النتائج التي ستحدث. في مثل هذه الحالات يجب علينا إجراء تجربة لحساب احتمال النتائج المختلفة.
مثلا إذا رمينا مسمار دبوس عادي فقد يقع ورأسه لأعلى أو رأسه لأسفل. ولكن لا يمكننا معرفة إحتمال حِدوث أي من هاتين الحالتين قبل أن نرميه. يجب أن نجري تجربة لمعرفة احتمال النتيجتين. ومع ذلك يجب علينا أن نتذكر أن التجارب تعطي قيّم الاحتمالات بصورة تقديرية فقط. ولكن كلما زاد عدد التجارب كلما زادت دِقة النتائج.
إذا أجرينا تجربة بمسمار الدبوس وفي التجربة الأولى رمينا مسمار الدبوس 30 مرة، ثم رميناه في التجربة الثانية 150 مرة وفي التجربة الثالثة رميناه 400 مرة. بعد كل تجربة نحسب الاحتمال ونطلق عليه التكرار النسبي. يتم حسابه باستخدام التعريف التقليدي للاحتمالات المُعطى أعلاه. ويمكن ملاحظة النتائج في الجدول التالي:
| عدد الرميات | الرأس لأعلى | الرأس لأسفل | التكرار النسبي في حالة الرأس لأعلى | التكرار النسبي في حالة الرأس لأسفل |
| 30 | 15 | 15 | \(\frac{15}{30}=0,5\) | \(\frac{15}{30}=0,5\) |
| 150 | 90 | 60 | \(\frac{90}{150}=0,6\) | \(\frac{60}{150}=0,4\) |
| 400 | 260 | 140 | \(\frac{260}{400}=0,65\) | \(\frac{140}{400}=0,35\) |
من الجدول نلاحظ أن نتائج الأحتمالات تعتمد على عدد مرات الرمي. فكلما زاد عدد مرات الرمي كلما اقتربنا من الحقيقة. يبين الجدول أن إحتمال سقوط المسمار ورأسه الى الأعلى أكبر من إحتمال سقوط المسمار ورأسه الى الأسفل. بعد إجراء 400 رمية كان إحتمال أن يكون الرأس لأعلى %65 بينما إحتمال أن يكون الرأس لأسفل كان %35.
في العديد من الحالات يتم حساب الاحتمالات بهذه الطريقة وعلينا أن نتذكر بأن الاحتمالات لا يمكن أن تكون دقيقة تماما فهي عبارة عن حسابات تقديرية فقط.
الأحداث التابعة والمستقلة
إذا رمينا نردين سُداسيين واحد بعد الآخر، فما هو احتمال الحصول على الوجه 5 على النرد الأول ثم الوجه 6 على النرد الثاني؟
بما أن نتيجة النرد الأول سوف لن تُؤثر على نتيجة النرد الثاني فإن أحداث هاذين النردين هما عبارة عن حدثيّن مستقليّن – أي أن احتمال حِدوث الحدث الثاني لا يتأثر بالحدث الأول.
الحدثيّن المستقليّن في هذا المثال احتمال حِدوثهما معا يساوي احتمال حِدوث الحدث الأول مضروب فــي احتمال حِدوث الحدث الثاني.
نبدأ بحساب احتمال الحصول على الــ 5 والــ 6
$$P(5)=\frac{1}{6}$$
$$P(6)=\frac{1}{6}$$
ثم نحسب احتمال حِدوثهما معا، أي إحتمال الحصول على الــ 5 في النرد الأول والــ 6 في النرد الآخر معا:
= (6 على النرد الثاني ,5 على النرد الأول)P
$$=P(5)\cdot P(6)=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}$$
إذن احتمال الحصول على الــ 5 على النرد الأول والــ 6 على النرد الثاني هو \(\frac {1} {36}\), وهو ما يعادل %2,8.
إذا سحبنا سحب عشوائي من ورق الكتشينة العادية ماهو احتمال أن يكون الكرت الأول هو الملك والكرت الثاني هو الآس، مع العلم بأن الكروت التي تم سحبها لا تُعاد الى الكوتشينة مرة أخرى؟
تحتوي الكوتشينة العادية على 52 ورقة/كرت (بالإضافة إلى جوكرين تم إستبعادهما في المثال). تحتوي مثل هذه الكوتشينة على أربعة ورقات ملك وأربعة ورقات آس.
احتمال سحب الملك من الكوتشينة:
\(=\frac{4}{52}\) (الملك)P
بعد سحب ورقة (الملك) من الكوتشينة سيتبقى 51 ورقة فقط في الكوتشينة. بالتالي سيكون احتمال سحب ورقة الآس:
\(=\frac{4}{51}\) (الآس بعد الملك)P
هذا مثال لحدثين تابعين (غير مستقلين) لأن احتمال حِدوث الحدث الثاني سيتأثر بحِدوث الحدث الأول.
بالتالي احتمال سحب ورقة الملك أولا ثم ورقة الآس ثانيا سيكون كما يلي (مع العلم بأن الورقة التي تم سحبها من الكوتشينة لا تُعاد مرة أخرى):
= (الآس بعد الملك)P \(\cdot\) (الملك)P
$$=\frac{4}{52}\cdot \frac{4}{51}=\frac{16}{2\,652}=\frac{4}{663}\approx0,006$$
إذن احتمال سحب ورقة الملك أولا ثم ورقة الآس ثانيا يساوي \(\frac{4}{663}\) أي ما يعادل %0,6 تقريبا:
الحدث المكمل
ما هو احتمال عدم الحصول على الستة إذا رمينا نرد سُداسي عادي؟
في هذا النوع من الأسئلة عادة ما يظهر موضوع الأحداث المكملة. الحدث المكمل للحصول على الوجه 6 هو أن نحصل على وجه آخر غير الــ 6 عند رمي النرد (أي الحصول على 1, 2, 3, 4 أو 5). حاصل جمع احتمال أي حدث واحتمال الحدث المكمل له يساوي 1 (سواء وقع الحدث أو الحدث المكمل له - لا يوجد حدث آخر يمكن حدوث).
الأحداث المكملة للحصول على الوجه 6 عندما نرمي النرد ستكون خمس نتائج إيجابية (1, 2, 3, 4 و5) وست نتائج ممكنة (1, 2, 3, 4, 5 و6)، وهذا ما يعطينا ما يلي بإستخدام التعريف التقليدي للاحتمالات:
\(=\frac{5}{6}\approx0,83\) (غير الــ 6)P
سابقا أوجدنا احتمال الحصول على الوجه 6 عند رمي النرد السُداسي العادي وهو
$$P(6)=\frac{1}{6}\approx0,17$$
بالتالي يمكننا الوصول إلى أن احتمال وقوع أي حدث والحدث المكمل له دائما يساوي 1:
\(=\frac{1}{6}+\frac{5}{6}=\frac{6}{6}=1\) (غير الــ 6)\(P\) + \(P(6)\)
فيديوهات الدرس (باللغة السويدية)
في هذا الفيديو سنتحدث عن نظرية الإحتمالات والمصطلحات المُهِمة.
فيما يلي سنستعرض مفهوم الحَدث المُكمِل.
في هذا الفيديو سنتحدث عن الاحتمالات التجريبية.
هنا ستحدث عن مفهوم الأحداث التابعة (الغير مستقلة).
في هذا الفيديو سنتعلم عملية حساب الأحتمالات التي لديها أكثر من نشاط واحد.
في هذا الفيديو سنستعرض مفهوم مخطط الشجرة بإستخدام مثال.
مثال على عملية حساب الإحتمال.
عملية حساب الإحتمالات عندما نرمي نردين.