الاختصار والمضاعفة
في القسم السابق كررنا ما هو معنى الأعداد الكسرية. في هذا القسم سنرى القواعد المعروفة لكيفية إعادة كتابة الأعداد الكسرية، وبصورة خاصة الإختصار والمُضاعفة.
عادة ما نقوم بإعادة كتابة الأعداد الكسرية لتسهيل العمليات الحسابية، كما في حالة جمع أو طرح كسرين لهما مقامين مختلفين على سبيل المثال. أيضا قد نقوم بإعادة كتابة الكسور بطريقة أخرى لإظهار العلاقة بين البسط والمقام بصورة أوضح, وما يناسب ذلك يعتمد على ما نحاول التعبير عنه رياضيا والغرض من هذا التعبير الرياضي. ويجب أن نتذكر أن إختصار أو مضاعفة الكسر لا تُغير قيمته.
المضاعفة
إذا كان لدينا عدد كسري ونريد أن يكون البسط أو المقام أكبر مما هو عليه، في هذه الحالة يمكننا مضاعفة الكسر وذلك بضرب كل من البسط والمقام في عدد مُعين.
مثلا إذا أردنا إعادة كتابة الرُبع بحيث يكون في صورة كسر مقامه اثني عشر (ثلاثة علـى اثني عشر)، فسيكون كما يلي:
$$\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\cdot1=\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{3}=\frac{1\cdot3}{4\cdot3}=\frac{3}{12}$$
ربما نتذكر كما وضّحنا في القسم السابق في مثال قطع الكعكة أن الرُبع يمكن التعبير عنه كثلاثة على اثني عشر. وهنا وضّحنا كيفية الوصول إلى نفس النتيجة باستخدام المُضاعفة.
مهما فعلنا في كل من البسط والمقام، فلن يتغير خارج القسمة طالما نفعل نفس الشيء لكل منهما. ما نفعله هو بكل بساطة كتابة نفس الشيء بطريقة مختلفة:
$$\frac{1}{4}=\frac{3}{12}=0,25$$
الإختصار
\(\frac{1}{4}\), \(\frac{3}{12}\) هي أعداد نسبية لها نفس القيمة 0,25. أي هما عبارة عن 0,25 مكتوبة بطريقتين مختلفتين. إذا أردنا بدلا من \(\frac{3}{12}\) تقليل عددي البسط والمقام يمكننا اختصار الكسر. وفي هذه الحالة نقوم بقسمة كل من البسط والمقام على عدد معين.
وفي هذا المثال نقوم بإعادة كتابة ثلاثة علـى اثنى عشر الى رُبع:
$$\frac{3}{12}=\frac{\,\,\frac{3}{{\color{Blue} 3}}\,\,}{\frac{12}{{\color{Blue} 3}}}=\frac{1}{4}$$
نلاحظ أن نتيجة الأختصار كانت كما قد توقعنا، وهي بالضبط العدد الذي بدأنا منه عندما أجرينا عملية المضاعفة أعلاه. ما قمنا به هنا لاختصار هذا الكسر هو أننا ذهبنا في الاتجاه العكسي مقارنة بما قمنا به سابقا لمضاعفة الكسر.
لا تتم عملية الاختصار في كل الحالات ويجب أن يكون كل من البسط والمقام أعداد صحيحة حتى بعد عملية اختصار الكسر. فعندما لا يمكن اختصار الكسر أكثر مما هو عليه، أي عندما لا توجد أعداد يمكن قسمة كل من البسط والمقام عليها والحصول على اعداد صحيحة، ففي هذه الحالة نقول أن العدد (الكسر) مكتوب في أبسط صورة.
العلاقة بين الأعداد
عندما نتحدث عن العلاقة بين عددين، فإننا نعني حاصل القسمة (النسبة) بينهما. على سبيل المثال العلاقة بين 3 و 12:
$$\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$$
عند كتابة النسبة (العلاقة) بين الأعداد عادة ما تُكتب (1:4) على سبيل المثال (وتُقرأ "1 إلى 4”)، بدلا من الكسر الاعتيادي المعتاد. هذا النوع من التعبير عادة ما يكون على الخرائط لتحديد مقياس الرسم، أي ما هو ما يعادل طول المسافة على الرسم في الواقع. في مثل هذه الحالات يمكن استخدام على سبيل المثال مقياس الرسم (\(10\,000\):1)، وهذا يعني أن 1 سم على الخريطة يعادل \(10\,000\) سم (100 متر) في الواقع.