المتتاليات الهندسية

في القسم السابق تعلمنا المتتاليات العددية وهي متتاليات يكون فيها الفرق بين كل عددين متتاليين عدد ثابت. ولكن هناك أيضا متتاليات أخرى مثيرة للاهتمام وفي هذا القسم سنتعلم ما يُعرف بالمتتاليات الهندسية.

المتتالية الهندسية

هي عبارة عن تسلسل أعداد متتالية، ويكون فيها حاصل قسمة أي عدد على العدد الذي يسبقه دائما نسبة ثابتة، ونُسمي هذا النوع من المتتاليات بالمتتالية الهندسية.

فيما يلي مثال على المتتالية الهندسية:

$$2, \ 6, \ 18, \ 54...$$

لأن

$$\frac{6}{2}=\frac{18}{6}=\frac{54}{18}=3$$

نلاحظ أن النسبة ثابتة وفي هذه الحالة تساوي 3.

يمكن وصف المتتالية الهندسية رياضيا بتسمية العدد (الحد) الأول في المتتالية بالرمز \(a_{1}\) والنسبىة الثابتة للمتتالية بالرمز k.

بالتالي يمكن كتابة المتتالية الهندسية بصورة عامة على النحو التالي:

$$a_{1},\; a_{1}\cdot k,\; a_{1}\cdot k \cdot k,\; a_{1}\cdot k \cdot k \cdot k,\dots = a_{1},\; a_{1}\cdot k,\; a_{1}\cdot k^2,\; a_{1}\cdot k^3,\dots$$

إذا علمنا أن \(a_{1}=1\) و \(k = 3\) سنحصل على المتتالية التالية

$$1,\; 1\cdot 3,\; 1 \cdot 3^2,\; 1 \cdot 3^3,\dots = 1,\;3,\;9,\;27,\dots$$

بنفس الطريقة كما في حالة المتتاليات العددية هناك صيغة لحساب أي عدد من أعداد (حد من حدود) المتتالية الهندسية:

$$a_{n}=a_{1}\cdot k^{n-1}$$

حيث أن \(a_{n}\) هو العدد رقم n في المتتالية (الحد رقم n أي الحد النوني)، \(a_{1}\) هو العدد (الحد) الأول في المتتالية و k هي النسبة بين أي عدد من أعداد المتتالية والعدد الذي يسبقه.

الآن يمكننا على سبيل المثال حساب العدد (الحد) الخامس في المتتالية الهندسية اعلاه. نعلم أن النسبة هي \(k = 3\) وأن العدد الأول في المتتالية هو \(a_{1}=1\) ووفقا لصيغة العدد n (الحد النوني) سنحصل على ما يلي:

$$a_{5}=1\cdot 3^{5-1}=1\cdot 3^{4}=81$$

المجموع الهندسي

كما في حالة المتتاليات الحسابية يمكننا حساب مجموع جميع أعداد المتتالية الهندسية وهذا ما يُسمى بالمجموع الهندسي.

سنستخدم المتتالية \(2, 6, 18, 54, ...\) لاستنتاج تعبير المجموع الهندسي. للحصول على مجموع هذه المتتالية سنبدأ بجمع الأربعة عناصر الأولى المُعطية:

$$S_{4}=\sum_{n=1}^{4} a_{1}\cdot k^{(n-1)}=2\cdot 3^{0}+2\cdot 3^{1}+2\cdot 3^{2}+2\cdot 3^{3}$$

حيث أن \(S_{4}\) هو مجموع الأربعة أعداد الأولى والعلامة \(\sum \) هي علامة الجمع وهي طريقة بسيطة ومحكمة لكتابة مجموع الأعداد المُراد جمعها. الآن نضرب الطرفين الأيسر والأيمن في النسبة k:

$$S_{4}\cdot 3=2\cdot 3^{1}+2\cdot 3^{2}+2\cdot 3^{3}+2\cdot 3^{4}$$

ثم نطرح \(S_{4}\) من الطرفين وفي الطرف الأيمن نطرح قيمتها وليس \(S_{4}\) نفسها:

$$\begin{align} 3\cdot {S}_{4}-{S}_{4} =& (2\cdot {3}^{1}+2\cdot {3}^{2}+2\cdot{3}^{3}+2\cdot{3}^{4}) \\ & -(2\cdot{3}^{0}+2\cdot{3}^{1}+2\cdot{3}^{2}+2\cdot{3}^{3})\end{align}$$

$$3{S}_{{}_{4}}-{S}_{{}_{4}}=2\cdot{3}^{{}^{4}}-2\cdot{3}^{{}^{0}}$$

$${S}_{{}_{4}}\cdot (3-1)=2\cdot ({3}^{{}^{4}}-1) $$

$${S}_{{}_{4}}=\frac{2\cdot ({3}^{{}^{4}}-1)}{3-1}=80 $$

بالتالي يمكن كتابة الصيغة العامة للمجموع الهندسي كما يلي

$${S}_{n}=\frac{{a}_{1}\cdot ({k}^{n}-1)}{k-1}$$

حيث أن \(S_{n}\) هو مجموع الأعداد (الحدود) n الأولى في المتتالية، \(a_{1}\) هو العدد (الحد) الأول في المتتالية و k هي النسبة بين أي أعداد والعدد الذي يسبقه في المتتالية \(k \neq 1\).

إذا كانت \(k = 1\) فهذا يعني أن جميع العناصر في المتتالية متشابهة. وفي هذه الحالة يتم حساب مجموع عناصر المتتالية باستخدام الصيغة التالية

$${S}_{n}={a}_{1}\cdot n$$

المجموع في هذه الحالة هو بكل بساطة حاصل ضرب العنصر الأول فـي عدد العناصر.

في وقت لاحق في هذه الدورة سنقابل واحد من التطبيقات الشائعة لهذا النوع من المجاميع الهندسية وتحديدا في قسم الفائدة أو الأرباح المالية.

---

فيديو الدرس (بالسويدية)

في هذا الفيديو سنشرح المتتاليات/المتواليات الهندسيه.