ترتيب العمليات الحسابية

كما ذكرنا في قسم الأعداد الصحية والأعداد الطبيعية, من المهم إتفاق جميع الناس على قواعد معينة لكيفية استخدام الأعداد، كالأعداد الصحيحة مثلا. فإذا لم يكن هناك اتفاق قد تكون هناك مشاكل، لأنه قد تختلف معاني الحساب عند اجراء العمليات الحسابية.

لذلك من المهم إتباع قواعد الترتيب الصالحة لحساب التعبيرات الرياضية، والتي تُسمى بترتيب العمليات الحسابية.

فإذا كان لدينا تعبير رياضي يحتوي على عمليات حسابية مختلفة أو أقواس، فقد تتأثر النتيجة وفقا للترتيب الذي تمت به هذه العمليات الحسابية المختلفة.

إذا نظرنا إلى هذا التعبير

$$5+7\cdot 2$$

فسنحصل على نتيجة معينة إذا أجرينا عملية الضرب قبل عملية الجمع:

$$5+7\cdot 2=5+14=19$$

أما إذا أجرينا عملية الجمع قبل عملية الضرب، فسنحصل على نتيجة مختلفة:

$$5+7\cdot 2=12\cdot 2=24$$

كما رأينا تحصلنا على نتائج مختلفة اعتمادا على ما بدأنا به. فهذا الأمر قد يكون كارثي. على سبيل المثال إذا قام أحد المهندسين بإجراء عملية حسابية بإحدى الطرق وأجرى مهندس آخر نفس العملية بطريقة أخرى مختلفة، وهذا يمكن أن يؤدي إلى ضعف تشييد المباني أو الكباري أو حتى انهيارها والتسبب في إصابة الناس.

لكي يحصل الجميع على نفس الإجابة وبصورة دائمة (طالما لم نحسب بطريقة خاطئة) يجب توحيد القواعد لأولويات اجراء الحساب التي تُحدد ترتيب اجراء العمليات الحسابية. فمن القواعد المُتفق عليها هي اجراء عمليتي الضرب والقسمة قبل الجمع والطرح. ومع ذلك قد يكون لدينا في بعض الأحيان عمليات حسابية يكون فيها إجراء الجمع أو الطرح قبل الضرب والقسمة كما في حالة بعض التعبيرات التي تحتوي على أقواس، ولتوضيح هذا ضع ما تريد حسابه أولا داخل أقواس.

قاعدة ترتيب العمليات الحسابية للأقواس والعمليات الأربع هي كما يلي:

أولا حساب ما بداخل الأقواس
ثانيا الضرب والقسمة
ثالثا الجمع والطرح

فعندما يكون لدينا تعبير رياضي يمكن أن نطبق فيه هذه القاعدة (ترتيب العمليات أعلاه)، فسنحسب أولا ما بين الأقواس ثم نجري عمليات الضرب والقسمة وفي الخطوة الأخيرة نجري الجمع والطرح.

إذا رجعنا إلى المثال أعلاه في بداية هذا القسم فيمكننا إجراء الحساب مباشرة من غير قاعدة الترتيب أعلاه:

$$5+7\cdot 2=5+14=19$$

بإجراء الضرب أولا ثم بعد ذلك أجراء الجمع كانت النتيجة النهائية للعملية الحسابية 19

ولكن إذا أردنا أن تكون نتيجة هذه العملية الحسابية 24 باستخدام طريقة الجمع أولا كما يلي

$$5+7\cdot 2=12\cdot 2=24$$

فهذا ليس بصحيح لأن هذا التعبير خطأ وفقا لقواعد أولويات الحساب. فيجب علينا توضيح ما نعني بوضع أقواس. فإذا وضعنا قوسين يمكننا تغيير ترتيب اجراء عمليات حساب هذا التعبير وفقا لقاعدة الترتيب. لذلك سنعيد كتابة هذا التعبير كما يلي

$$(5+7)\cdot 2$$

في هذا التعبير يمكن تطبيق قاعدة الترتيب بحيث نحسب ما بداخل الأقواس أولا (12 = 7 + 5)، ثم في الخطوة التالية نجري الضرب، لأن ما بداخل الأقواس تم حسابه.

بصورة عامة للحصول على النتيجة 24 ستكون العملية الحسابية الصحيحة  كما يلي:

$$(5+7)\cdot 2=12\cdot 2=24$$

لاحقا في أحد الأقسام القادمة سنتعرف على ما يسمى بالقوى. فعندما يحتوي تعبير رياضي على قوة أُسية سيتم حساب القوة بعد حساب ما بداخل الأقواس ولكن قبل عمليات الضرب والقسمة. أما الآن يكفي ما تعلمناه عن ترتيب عمليات حساب التعبيرات الرياضية التي تحتوي على العمليات الحسابية الأربع مع الأقواس.

فيديوهات الدرس (بالسويدية)

هنا نستعرض كيفية اجراء الحسابات مع قواعد ترتيب العمليات الحسابية.

وسائل مُساعدة

هنا تم حل هذا التمرين بإستخدام الآلة الحاسبة الراسمة (Casio FX-CG20).
شاهد نفس التمرين تم حله بإستخدام الآلة الحاسبة الراسمة (Casio FX-9750GII).

الآلات الحاسبة البيانية من العلامات التجارية الأخرى لديها وظائف مماثلة تقريبا.