القوى (الأُسُس)
سابقا عندما درسنا ترتيب العمليات الحسابية ذكرنا مفهوم القوى بإجاز. في هذا القسم سندرس مفهوم القوى والقواعد الحسابية التي سنستخدمها عند حساب القوى.
القوة (الأُس) والأساس.
قد يكون لدينا في بعض الأحيان تعبيرات رياضية بها عمليات حسابية متكررة عدة مرات. في مثل هذه الحالات قد يكون من المفيد كتابة هذه التعبيرات بطريقة أكثر إحكاماً مع الحفاظ على معنى التعبير.
على سبيل المثال يمكن أن نرى عملية الضرب كتعبير عن جمع متكرر بطريقة أكثر إحكاما.
$$5+5+5+5$$
حيث يمكننا بدلا من ذلك كتابة
$$5\cdot 4$$
وهو أسهل.
أيضا هناك طريقة مشابهة لإختصار عملية الضرب:
$$5\cdot 5\cdot 5\cdot 5$$
ويمكننا بدلا من ذلك كتابة
$$5^4$$
وتُقرأ "خمسة مرفوعة للقوى أربعة" وتعني ضرب العدد 5 في نفسه 4 مرات. على الحاسبات الآلية (الكومبيوترات) والآلات الحاسبة تُستخدم العلامة (^) لتمثيل القوى: 4^5
العدد المكتوب في هذا الشكل يُقال أنه مكتوب في صورة أُسية. وفي التعبير \(5^4\) يُسمى العدد 5 بالأساس ويُسمى العدد 4 بالقوة (الأُس).
وباللغة السويدية تُكتب كما يلي:
$$bas^{exponent}=potens$$
هناك عدد من القواعد الخاصة بكيفية حساب القوى من الجيّد أن نتذكرها.
ضرب القوى التي لها نفس الأساس
إذا كان لدينا قوتين لهما نفس الأساس يمكن إجراء عملية ضربهما كما في المثال التالي:
$$ {5}^{{}^{2}}\cdot {5}^{{}^{4}}=(5\cdot 5)\cdot (5\cdot 5\cdot 5\cdot 5)=5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5={5}^{{}^{6}}$$
يمكن أيضا كتابة هذا على النحو التالي:
$${5}^{{}^{2}}\cdot {5}^{{}^{4}}={5}^{{}^{2+4}}={5}^{{}^{6}}$$
وبشكل عام تُكتب كما يلي
$$ a^{x}\cdot a^{y}=a^{x+y}$$
عند ضرب قوى لها نفس الأساس نجمع القوى ويكون الناتج هو أحد هذه الأساسات أُسه حاصل جمع القوى.
قسمة القوى التي لها نفس الأساس
بالمثل كما في حالة ضرب القوى التي لها نفس الأساس، يمكن كتابة قسمة قوتين لهما نفس الأساس كما في المثال التالي:
$$\frac{{3}^{{}^{6}}}{{3}^{{}^{3}}}=\frac{3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3}{3\cdot 3\cdot 3}=\frac{3\cdot 3\cdot 3}{1}={3}^{{}^{3}} $$
أيضا يمكن كتابته على النحو التالي
$$ \frac{{3}^{{}^{6}}}{{3}^{{}^{3}}}={3}^{{}^{6-3}}={3}^{{}^{3}} $$
وبشكل عام تُكتب كما يلي
$$ \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$$
$$a \neq 0 $$
عند قسمة قوى لها نفس الأساس نطرح القوى ويكون الناتج هو أحد هذه الأساسات أُسه حاصل طرح القوى.
قوة القوة (أُس الأُس)
إذا كان لدينا تعبير أُسي مرفوع لقوة أخرى ونريد حسابه، فمن ثم يمكن كتابته كما في المثال التالي:
$$ (11^3)^4=11^3\cdot 11^3\cdot 11^3\cdot 11^3$$
إذا طبقنا قاعدة ضرب القوى التي لها نفس الأساس (ضرب متكرر) التي توصلنا إليها سابقا في هذا القسم سنحصل على
$$ 11^3 \cdot 11^3\cdot 11^3\cdot 11^3=11^{3+3+3+3}=11^{12}$$
نعلم أن
$$3+3+3+3=3\cdot4=12$$
لذلك يمكن كتابة
$$ (11^3)^4=11^{3\cdot 4}=11^{12} $$
وبشكل عام ستكون كما يلي
$$ (a^x)^y = a^{x \cdot y}$$
قوة حاصل الضرب
يمكن أيضا أن يكون لدينا تعبيرات قوى لها أساس أكثر تعقيدا. لنفترض مثلا أن الأساس يتكون من حاصل ضرب كما يلي
$$(5x)^2$$
حيث أن x عدد غير معروف.
كيف نتعامل في هذه الحالة؟
بما أن الــ 5 والــ x لهما القوى 2, يمكننا بدلا من ذلك كتابة هذا التعبير على النحو التالي
$$(5x)^2=(5x)\cdot(5x)=5^2\cdot x^2=25x^2$$
وبصورة عامة يمكن أن نكتب:
$${(a\cdot b)}^{x}={a}^{x}\cdot {b}^{x}$$
قوة حاصل القسمة
بنفس الأسلوب الوارد في الحالة الأخيرة أعلاه، حيث كان أساس القوة يتكون من حاصل ضرب، يمكن حساب قوة خارج القسمة. في هذه الحالة يمكن أن يكون لدينا تعبير أُسي كما في المثال التالي:
$$\left ( \frac{2x}{3} \right ) ^3$$
يتكون أساس القوة من حاصل القسمة \(\frac{2x}{3}\) بينما القوة تساوي 3.
باستخدام قاعدة ضرب الكسور يمكننا إعادة كتابة هذه القوى على النحو التالي
$$\left ( \frac{2x}{3} \right )^3= \frac{2x}3 \cdot \frac{2x}3 \cdot \frac{2x}3= \frac{(2x)^3}{3^3}$$
يمكننا المواصلة في تبسيط هذا التعبير، ولكن نكتفي بهذا الحد. ونستنتج أنه يمكننا كتابة قاعدة عامة لقوة خارج القسمة كما يلي (بشرط أن \(b \neq 0 \)):
$$\left ( \frac{a}{b} \right )^x=\frac{a^x}{b^x}$$
القوى السالبة
إذا كان لدينا الكسر
$$ \frac{{4}^{{}^{2}}}{{4}^{{}^{4}}}$$
ونريد تبسيطه عن طريق قاعدة قسمة القوى التي لها نفس الأساس سنحصل على
$$ \frac{{4}^{{}^{2}}}{{4}^{{}^{4}}}={4}^{{}^{2-4}}={4}^{{}^{-2}}$$
يمكننا أيضا كتابته على النحو التالي
$$\frac{{4}^{{}^{2}}}{{4}^{{}^{4}}}=\frac{4\cdot 4}{4\cdot 4\cdot 4\cdot 4}=\frac{1}{4\cdot 4}=\frac{1}{{4}^{{}^{2}}} $$
وهذا يعني صلاحية العلاقة التالية:
$${4}^{{}^{-2}}=\frac{1}{4\cdot 4}=\frac{1}{{4}^{{}^{2}}} $$
وبصورة عامة يمكننا كتابة هذا على النحو التالي:
$$a^{-x}=\frac{1}{a^x}$$
حيث أن \( a \neq 0 \)
القوة صفر
نعلم أن
$$ \frac{{5}^{{}^{3}}}{{5}^{{}^{3}}}={5}^{{}^{3-3}}={5}^{{}^{0}} $$
ولكن نعلم أيضا أن
$$ \frac{{5}^{{}^{3}}}{{5}^{{}^{3}}}=1$$
لذلك فأن هذا يجب أن يعني أن
$$ {5}^{{}^{0}}=1$$
وبشكل عام سيكون
$$ {a}^{0}=1$$
$$a\neq 0$$
بمعنى أن ناتج أي عدد مرفوع للقوة صفر يساوي 1.
قواعد القوى
الآن مررنا على عدد من القواعد العامة التي تنطبق عند إجراء العمليات الحسابية التي تحتوي على قوى، وهي ما تُسمى بقواعد القوى.
دعونا نلخص ما توصلنا إليه حتى الآن:
| الإسم | القاعدة |
| ضرب القوى | \(a^x\cdot a^y = a^{x+y}\) |
| قسمة القوى | \(\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}\) |
| قوة القوة | \({({a}^{x})}^{y}={a}^{x\cdot y}\) |
| قوة حاصل الضرب | \( {(a\cdot b)}^{x}={a}^{x}\cdot {b}^{x}\) |
| قوة حاصل القسمة | \(\left ( \frac{a}{b} \right )^x=\frac{a^x}{b^x}\) |
| القوة السالبة | \(a^{-x}=\frac{1}{a^x}\) |
| القوة صفر | \( {a}^{0}=1\) |
ترتيب العمليات الحسابية التي تحتوي على قوى
كما ذكرنا في بداية هذا الباب فإن ترتيب العمليات الحسابية يتأثر عندما يحتوي التعبير على قوى.
الآن يمكن كتابة قواعد أولوية ترتيب العمليات الحسابية التي تحتوي على قوى كما يلي:
1) ما بداخل الأقواس
2) القوى
3) الضرب والقسمة
4) الجمع والطرح
إذا كان لدينا على سبيل المثال التعبير التالي
$$2 \cdot (3-2^3)+\frac{4}{2}$$
بالتالي سنقوم بحساب ما بداخل القوسين أولا، ثم القوى ثانيا، ثم الضرب والقسمة ثالثا وفي النهاية عمليتي الجمع والطرح.
أما إذا كانت الأقواس نفسها تحتوي على قوى فيجب حسابها أولا بطبيعة الحال. أي يجب تطبيق ترتيب العمليات الحسابية لحساب ما بداخل الأقواس بشكل منفصل:
$$(3-2^3)=(3-8)=(-5)$$
بعد حساب التعبير بين القوسين نلاحظ أن التعبير المتبقي لا يحتوي على أقواس أو قوى أخرى، لذلك نجري عمليتي الضرب والقسمة في الخطوة القادمة:
$$2\cdot (-5) +\frac{4}{2}=(-10)+2$$
في الخطوة الأخيرة نجري عملية الجمع لنحصل على
$$-10+2=-8$$
فيديوهات الدرس (بالسويدية)
مقدمة عن القوى (الأُسُس).
في هذا الفيديو سنشرح أربعه من قوانين الأُسُس/القوى.
في هذا الفيديو سنشرح قوى القوى (أُس الأُس) \({({a}^{x})}^{y}\), قوى حاصل الضرب \( {(a\cdot b)}^{x}\) وقوى حاصل القسمه \(\left ( \frac{a}{b} \right )^x\).
هنا سنشرح كيفية اجراء الحسابات باستخدام ثلاثة من قوانين القوى (الأُسُس).
في هذا الفيديو سنشرح كيفية اجراء الحسابات باستخدام أربعة قوانين أخرى من قوانين القوى (الأُسُس).
الوسيلة المساعدة
هنا تم استخدام الآلة الحاسبة البيانية (Casio FX-CG20).
شاهد نفس التمرين على الآلة الحاسبة البيانية (Casio FX-9750GII).
الآلات الحاسبة البيانية من الماركات الأخرى لديها نفس الوظائف تغريبا.