الأُسُس والصيغة العلمية

في الصف الثامن تعرفنا على الأُسُس (القوى) وتعلمنا كيف يمكننا كتابة الأعداد في صيغة علمية.

في هذا القسم سنكرر كيفية عمل الأُسُس وكيفية كتابة الأعداد في صورة أُسية أساسها العدد عشرة وكتابتها في صيغة علمية.

في الأقسام القادمة سنتقدم للأمام ونتعلم بعض قواعد الحساب الصالحة للأُسُس وأيضا كيف يمكننا كتابة الأعداد الصغيرة في صورة أُسية.

ملاحظة مهمة: كلمة قوى هي جمع قوة وهي تعني كلمة أُس في هذه الحالة. أُستخدمت هنا لأن الأُس يقوم بمضاعفة الأعداد أي يزيدها قوة و قد تكون المضاعفة عكسية أي ينقص قوة الأعداد و ذلك عندما يكون الأُس عدد سالب كما سنري لاحقا في هذا الباب. عليه سنستخدم كلمة قوة (جمعها قوى) في بعض الأحيان وذلك لتسهيل السياق اللغوي.

كتابة الأعداد في صورة أُسية

إذا كان لدينا ضرب متكرر يمكننا كتابته في صورة أُسية. على سبيل المثال يمكننا كتابة حاصل الضرب التالي

\(81=3\cdot3\cdot3\cdot3\)

في صورة أُسية أي أساس و أُس (قوة) كما يلي:

\(81= {3}^{4}\)

يُكتب العدد في صورة أُسية على النحو التالي:

Potensform

وهذا يعني أن الأساس سيُضرب في نفسه وعدد مرات ضرب الأساس في نفسه هو العدد المكتوب في الأس.


اكتب حاصل الضرب في صورة أُسية

a)  \(2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2 \)

b)  \((4-)\cdot(4-)\cdot(4-)\cdot(4-) \)

c)  \(x\cdot x\cdot x\)

الحل:

a)

العدد 2 مضروب في نفسه 6 مرات. وهذا يعني أننا يمكننا كتابة حاصل الضرب في صورة أُسية أساسها 2 وأُسها 6:

\(2^6= 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\)

b)

في هذه الحالة العدد -4 مضروب في نفسه 4 مرات. لذا يمكننا كتابة حاصل الضرب في صورة أُسية أساسها -4 وأُسها 4:

\((4-)^{4}= (4-)\cdot(4-)\cdot(4-)\cdot(4-)\)

c)

هنا لدينا العدد x مضروب في نفسه 3 مرات. لذا يمكننا كتابة حاصل الضرب في صورة أُسية أساسها x و أُسها 3 كما يلي:

\({x}^{3}= x\cdot x\cdot x\)

أن يكون الأساس عبارة عن متغير x لا يؤثر على كيفية كتابة الصورة الأُسية.


احسب قيمة الصورة الأُسية

a)  \({2}^{5} \)

b)  \((6-)^{3}\)

الحل:

a) بما أن الأساس 2 والأُس 5, يمكننا حساب قيمتها بضرب العامل 2 في نفسه 5 مرات:

\(= {2}^{5} \)

\( =2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2= \)

\(=2\cdot2\cdot2\cdot4= \)

\(=2\cdot2\cdot8= \)

\(32 =2\cdot16= \)

a) بما أن الأساس -6 والأس 3, يمكننا حساب قيمتها بضرب العامل -6 في نفسه 3 مرات. في هذه الحالة علينا أن نتذكر قواعد ضرب الأعداد السالبة:

\( =(6-)^{3} \)

\( =(6-)\cdot(6-)\cdot(6-) =\)

\(216- =(6-)\cdot36= \)


قوى العدد 10

قوى العدد عشرة هي ببساطة صورة أُسية أساسها 10

قوى العدد عشرة مفيدة بشكل خاص حيث أن نظام الأعداد المُستخدم مؤلف من العدد 10. على سبيل المثال العدد \(1\,000\) أكبر من العدد 100 بعشر مرات، والعدد 100 بدوره أكبر من العدد 10 بعشر مرات.

بعض الأمثلة على قوى العدد عشرة:

\(10= {10}^{1} \) (عشرة)

\(100= {10}^{2}\) (مائة)

\(1\,000= {10}^{3}\) (ألف)


أكتب العدد \(100\,000\) في شكل قوى العدد عشرة

العدد \(100\,000\) هو نفس الشيء كما لو ضربنا العامل 10 في نفسه 5 مرات, مما يسهل كتابة العدد في شكل قوى العدد عشرة:

\( {10}^{5}=10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10=100\,000\)

يمكن أن نلاحظ أن قوة العدد عشرة (الأُس) مساوي لعدد الأصفار في العدد الأصلي وهو 5 أصفار. قد يكون من المفيد وضع هذا في الاعتبار عند حساب قوى العدد عشرة.


الأعداد في صيغة علمية

الآن بعد أن تعرفنا على كيفية كتابة الأعداد في صورة قوى العدد عشرة، سوف نستعرض الاستخدام الشائع لهذه الطريقة في كتابة الأعداد.

غالبا ما تكون الأعداد الكبيرة مزعجة في كتابتها وحسابها إذا احتجنا لكتابة كل الأصفار. على سبيل المثال أعداد في رتبة الكتلة الشمسية بالكيلوجرام (وهي تقريبا \(2\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\) كجم, أي أن العدد 2 متبوع بـ 30 صفر من الكيلوجرامات). لذا من المفيد كتابة مثل هذه الأعداد في صيغة علمية.

دعونا ننظر أولا إلى مثال أبسط، حيث نكتب العدد \(3\,270\) في صيغة علمية. يمكننا كتابة العدد \(3\,270\) كحاصل ضرب العاملين 3,27 و \(1\,000\), لذا يمكننا إعادة كتابة العدد في صيغة علمية بهذه الطريقة:

\({10}^{3}\cdot 3,27=1\,000\cdot3,27=3\,270\)

العدد في الصيغة العلمية دائما يتكون من قوى العدد عشرة بجانبها عامل أكبر من 1 ولكن في نفس الوقت أقل من 10. في المثال أعلاه العدد عشرة مرفوع للقوة 3 بجانبه العامل 3,27.

إذا أردنا كتابة كتلة الشمس التقريبية في صيغة علمية يمكننا كتابتها كما يلي:

\( {10}^{30}\cdot2\) كجم

وهو بالطبع أسهل بكثير من كتابة الـ 30 صفر كلها.


أكتب الأعداد التالية في صيغة علمية

a)  \(16\)

b)  \(435\,007\)

الحل:

a) يمكننا كتابة العدد 16 كحاصل ضرب العامل 1,6 مع العامل 10 كما يلي:

\({10}^{1}\cdot1,6=16\)

لذلك تمت إعادة كتابة العدد 16 في صيغة علمية مباشرة.

b) يمكننا كتابة العدد \(435\,007\) كحاصل ضرب العامل 4,35007 مع العامل \(100\,000\) كما يلي:

\( {10}^{5}\cdot4,35007=100\,000\cdot4,35007=435\,007\)

بعد إعادة كتابة العدد \(100\,000\) في شكل 10 مرفوعة لقوة, أصبح العدد الأصلي في صيغة علمية.


أكتب الأعداد بدون قوى العدد عشرة

a)  \({10}^{3}\cdot1,402\)

b)  \({10}^{6}\cdot6,9\)

الحل:

a) لكتابة العدد بدون قوى العدد عشرة نبدأ بإعادة كتابة قوى العدد عشرة, وهو من السهل القيام به وذلك بضرب العامل 10 في نفسه 3 مرات.

\(1\,000= {10}^{3}\)

الآن يمكننا حساب حاصل الضرب:

\(1\,402= 1\,000\cdot1,402 \)

بالتالي العدد 1402 هو العدد المُعطى بدون استخدام قوى العدد عشرة.

b) بنفس طريقة المثال السابق نبدأ بإعادة كتابة قوى العدد عشرة. ضرب العدد 10 في نفسه ست مرات يساوي واحد مليون (1 متبوعا بـ 6 أصفار):

\( 1\,000\,000={10}^{6} \)

بعدها نحسب حاصل الضرب:

\( 6\,900\,000=1\,000\,000\cdot6,9 \)

بالتالي العدد \(6\,900\,000\) هو العدد المُعطى بدون استخدام قوى العدد عشرة. ويمكننا أيضا كتابته كـ 6,9 مليون إذا أردنا عدم كتابة جميع الأصفار.


فيديوهات الدرس (بالسويدية)

 (القوى) مقدمة عن الأُسُس.

الأُسُس (القوى) ذات الأساس الكسري.

الأعداد السالبة مع الأُسُس (القوى).

الصيغة العلمية للأعداد.

الأُسُس والصورة الأُسية.

كيفية كتابة الأعداد في الصيغة العلمية.

حساب قيمة الأعداد المكتوبة في الصيغة العلمية.

هل لديكم تعليقات على المواد الموجودة في هذه الصفحة؟ راسلنا علي: matteboken.arabiska@mattecentrum.se
قراءة الصفحة بلغات أخرى