الأُسُس
تعلمنا سابقا الكثير عن عمليات الضرب بما في ذلك صادفنا حالات الضرب في 10, 100 و 1000 و ضرب الأعداد العشرية
في هذا القسم سنتعلم ما هي الأُسُس، وهي طريقة مُفيدة لكتابة عمليات الضرب المتكرر بشكل أبسط. تُستخدم الأُسُس في سياقات مختلفة و في القِسم القادم سنتعلم المزيد عنها، تحديدا كيف يمكننا كتابة الأعداد في صيغة علمية.
ما هي الصورة الأُسية؟
كما رأينا سابقا عندما يكون لدينا عملية جمع تحتوي على عِدة حدود متشابهة يمكننا كتابتها بصورة مختصرة. على سبيل المثال لدينا المجموع التالي
\(30=5+5+5+5+5+5\)
هذا المجموع يمكننا اختصاره باستخدام الضرب كما يلي:
\(30=6\cdot 5\)
بنفس الطريقة يمكن أن يكون لدينا عملية ضرب لعدد من العوامل المتشابهة، كعملية الضرب التالية:
\(15625=5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\)
أيضا هذا النوع من التعبيرات الرياضية يمكننا اختصاره أكثر من ذلك. نلاحظ أن العدد 5 مضروب فــي نفسه 6 مرات، ما يعني أنه يمكننا أن نكتب:
\({5}^{6}\)
كتابة التعبيرات الرياضية بهذه الطريقة نسميها صورة أُسية. تتكون الصورة الأُسية من أساس (قاعدة) و أُس (قوة). الأساس هو العدد المضروب فــي نفسه و الأُس هو عدد مرات ضرب الأساس. في المثال أعلاه العدد 5 هو الأساس و العدد 6 هو الأُس، و نقرأها "خمسة مرفوعة للأُس 6, خمسة أُس 6 أو خمسة مرفوعة للقوة ستة".
بشكل عام يمكننا كتابة الصورة الأُسية كما يلي:
أي \({a}^{b}\) حيث أن a هي الأساس و b هي الأُس.
عندما يُكتب عدد بهذا الشكل نقول أن العدد مكتوب في صورة أُسية.
كلّما ضُرب عدد في نفسه عدة مرات كلّما كان من المفيد كتابة حاصل الضرب في صورة أُسية. مثلا إذا ضُرب العدد 2 في نفسه مائة مرة سيكون غير ملائم كتابة العامل 2 مائتي مرة. بدلا من ذلك يمكننا كتابة حاصل الضرب في صورة أُسية على النحو التالي:
\({2}^{100}\)
أكتب حواصل الضرب التالية في صورة أُسية
1) \(2\cdot 2\cdot 2\)
2) \(7\cdot 7\cdot 7\cdot 7\)
3) \(x\cdot x\)
الحل:
1)
لكتابة أي عدد في صورة أُسية يجب أن نُحدد ما هو الأساس وما هو الأُس.
بما أن الأساس هو العدد الذي سيضرب في نفسه فسيكون الأساس هو العدد 2. الأُس هو عدد مرات ضرب الأساس في نفسه بالتالي سيكون الأُس هو العدد 3.
لذلك يمكننا كتابة حاصل الضرب في صورة أُسية على النحو التالي:
\({2}^{3}=2\cdot 2\cdot 2\)
2)
بنفس الطريقة كما في المهمة الفرعية السابقة سنحدد الأساس و الأُس. الأساس يساوي 7 و الأُس يساوي 4. لذلك يمكننا كتابة حاصل الضرب في صورة أُسية على النحو التالي:
\({7}^{4}=7\cdot 7\cdot 7\cdot 7\)
3)
في هذه المهمة الفرعية لدينا حاصل ضرب يتكون من قيمة غير معروفة x مضروبة في نفسها. العدد x يُسمى متغير كما درسنا في الصف السابع، وهو في هذه الحالة عبارة عن قيمة مجهولة.
لكتابة حاصل الضرب هذا في صورة أُسية سنتعامل مع المتغير المجهول بنفس طريقة المتغير المعروف: نحدد الأساس و الأُس، الأساس يساوي x و الأُس يساوي 2 لأن المتغير x مضروب في نفسه مرتين.
لذلك يمكننا كتابة حاصل الضرب في صورة أُسية على النحو التالي:
\({x}^{2}=x\cdot x\)
أحسب قِيّم هذه الأُسس
1) \({5}^{3}\)
2) \({3}^{4}\)
الحل:
1)
نبدأ بترجمة معنى الأساس و الأُس في هذه الصورة الأُسية. الأساس هو 5, ما يعني أن 5 هي العدد المضروب في نفسه. الأُس هو 3, ما يعني أن الأساس 5 مضروب في نفسه 3 مرات.
إذن ستكون قيمة الصورة الأُسية كما يلي:
\(125=5\cdot 25=5\cdot 5\cdot 5={5}^{3}\)
2)
في هذه المهمة الفرعية الأساس هو 3 و الُأس هو 4.
إذن ستكون قيمة الصورة الأُسية كما يلي:
\(=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3={3}^{4}\)
\(81=3\cdot 27=3\cdot 3\cdot 9=\)
الأُسس و ترتيب العمليات
درسنا في الصف السابع كيف يمكننا كتابة و تقييم التعبيرات الرياضية. بما في ذلك وصلنا إلى أن ترتيب العمليات الحسابية مُهم جدا عند حساب قِيّم التعبيرات التي تحتوي على عمليات حسابية مختلفة (جمع, طرح, ضرب أو قسمة).
أولا يجب حساب قيمة ما بين الأقواس إن وُجد. ثم حساب الضرب و القسمة و في النهاية تنفيذ عمليتي الجمع و الطرح.
الأُسس هي بالطبع عبارة عن ضرب متكرر. عندما يكون لدينا تعبير يحتوي علي أُسُس يجب حساب الأُسس بعد الأقواس و لكن قبل عمليات الضرب و القسمة الأخرى.
ترتيب العمليات:
(1) الأقواس
(2) الأُسُس
(3) الضرب و القسمة
(4) الجمع و الطرح
احسب قيمة التعبير التالي
\(1+\frac{4}{{2}^{{}^{3}}}\)
نستخدم ترتيب العمليات لحساب التعبير بالترتيب الصحيح.
بما أن التعبير لا يحتوي على أقواس سنبدأ مباشرة بحساب قيمة الأُسس:
\(8=2\cdot 2\cdot 2={2}^{3}\)
الآن نعلم أن قيمة \({2}^{3}\) تساوي 8 و يمكننا تعويض هذه القيمة في التعبير الأصلي:
\(1+\frac{4}{8}=1+\frac{4}{{2}^{{}^{3}}}\)
لا يحتوي التعبير على أُسُس أخرى، بالتالي سنواصل مع حساب خارج القسمة بين البسط 4 و المقام 8, ثم أخيرا نجري عملية الجمع:
\(1,5=1+\frac{1}{2}=1+\frac{4}{8}\)
إذن باتباع ترتيب العمليات خطوة خطوة توصلنا الى أن قيمة التعبير تساوي 1,5.