الضرب و القسمة
في العام الدراسي السابع تدربنا على استخدام العمليات الحسابية الأربع و كرّسنا أنفسنا خاصة مع عمليتي الضرب و القسمة . بما في ذلك مررنا على كيفية التعامل مع ضرب الأعداد العشرية.
في هذا القسم سنكرر عمليتي الضرب و القسمة. بما في ذلك سنقوم بضرب و قسمة الكسور العشرية مع أعداد كبيرة و أعداد صغيرة.
ضرب الأعداد العشرية
عندما نضرب عدد صحيح في عدد عشري، عندئذ يكون من الأفضل إعادة كتابة العدد العشري ثم نواصل اجراء العملية الحسابية خطوة خطوة. هذا ما تدربنا عليه سابقا في قِسم ضرب الأعداد العشرية، و سنكرر الآن كيف يمكن فعل ذلك.
أولا سنقوم بِحَل مثال على عملية ضرب عدد صحيح في عدد عشري.
أحسب
\(0,23\cdot 5\)
احدى الطرق لإجراء هذا الضرب هو إعادة كتابة العدد العشري. العدد 0,23 هو بالطبع عبارة عن 23 جزء من مائة, لذا يمكننا إعادة كتابة العدد العشري كما يلي:
\(0,01\cdot 23=0,23\)
و هذا يعني يمكننا كتابة التعبير الأصلي بالطريقة التالية:
\({\color{Blue} {0,01\cdot 23}}\cdot 5={\color{Blue}{ 0,23}}\cdot 5\)
في الخطوة القادمة يمكننا أولا ضرب 5 فــي 23, ثم لاحقا نضرب حاصل ضربهما فــي 0,01 (ما يعني أننا سنحرك الفاصلة العشرية خطوتين تجاه اليسار).
\(1,15=0,01\cdot 115=0,01\cdot 23\cdot 5\)
بنفس الطريقة يمكننا اجراء عملية ضرب عددين عشريين، وهذا ما سنقوم به في المثال القادم.
أحسب
\(4,2\cdot 0,03\)
سنقوم بإعادة كتابة العاملين 0,03 و 4,2 لتسهيل عملية الضرب.
\(0,01\cdot 3=0,03\)
\(0,1\cdot 42=4,2\)
الآن سنعيد كتابة التعبير الأصلي بشكل آخر و نحسب حاصل الضرب خطوة خطوة:
\(={\color{Red} {4,2}}\cdot {\color{Blue}{ 0,03}}\)
\(={\color{Red} {0,1\cdot 42}}\cdot {\color{Blue}{ 0,01\cdot 3}}=\)
\(=0,001\cdot {\color{Red} {42}}\cdot {\color{Blue} 3}=\)
\(=0,001\cdot 126=\)
\(0,126=\)
القسمة مع الأعداد الصغيرة و الكبيرة
كما يمكننا تبسيط و تسهيل عمليات الضرب بإعادة كتابة العوامل المضروبة، بنفس طريقة يمكننا أحيانا تسهيل عمليات القسمة بإعادة كتابة البسط, المقام أو الاثنين معا. يمكننا أيضا استخدام الاختصار و المضاعفة لإجراء عملية القسمة خطوة خطوة.
نبدأ بمثال حيث المقام أكبر من البسط.
أحسب
\(\frac{15}{300}\)
قد يكون من الصعب اجراء هذه القسمة مباشرةً، لكن ستكون أسهل إذا اختصرنا البسط و المقام.
نلاحظ أن البسط و المقام يمكن اختصارهما بالقسمة علــى 3:
\(0,05=\frac{5}{100}=\frac{\,\,\frac{15}{{\color{Red} 3}}\,\,}{\frac{300}{{\color{Red} 3}}}=\frac{15}{300}\)
بعد عملية الاختصار بالقسمة علــى 3 لاحظنا أن عملية القسمة أصبحت أكثر سهولة.
يمكننا أيضا أن نصادف عمليات قسمة حيث المقام فيها عبارة عن عدد عشري صغير كما في المثال القادم.
أحسب
\(\frac{24}{0,04}\)
أيضا هذه القسمة من الصعب حسابها مباشرةً, لكن اذا ضاعفنا البسط و المقام ستكون أسهل.
بما أن المقام عبارة عن أجزاء من المئة (أربعة من مئة) يمكننا أن نضاعف البسط و المقام بالضرب فــي 100, مما يعطينا ما يلي:
\(600=\frac{2400}{4}=\frac{ {\color{Blue}{100\,\cdot\, }}24}{{\color{Blue}{100\,\cdot\, }}0,04}=\frac{24}{0,04}\)
حتى في حالة إعادة كتابة الكسر بمضاعفته بالضرب فــي 100, أصبح من السهل جدا اجراء عملية القسمة.