ضرب و قسمة الكسور
في القسم السابق كررنا جمع و طرح الكسور. واتضح أن جمع أو طرح كسرين يكون بسيطا إذا كان لهما مقام مشترك، أما إذا كان لهما مقامين مختلفين، فسنحتاج إلى إعادة كتابة الكسور باستخدام الاختصار أو المضاعفة ليكون لهما مقام مشترك.
الآن سندرس كيفية التعامل مع العمليات الحسابية الأخرى بالنسبة للكسور، أي عمليتي ضرب وقسمة الكسور الاعتيادية.
ضرب الكسور الاعتيادية
ماذا يعني ضرب كسرين اعتياديين؟ يمكننا على سبيل المثال أن نحسب عملية الضرب التالية:
\(\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\)
يمكننا تفسير هذا الضرب بأننا نريد معرفة ما مقدار نصف \((\frac{1}{2})\) الثلث \((\frac{1}{3})\) (نصف الثلث). بما أننا نعلم أن
\(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)
فيجب أن تكون قيمة حاصل الضرب المطلوبة عبارة عن نصف سدسين, و نصف السدسين هو سدس واحد \((\frac{1}{6})\).
وهذا يعني صلاحية العلاقة التالية:
\(\frac{1}{6}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\)
القاعدة العامة التي تنطبق على ضرب الكسور الاعتيادية هي أن يُضرب بسطي الكسرين في بعضهما كما يضرب المقامين في بعضهما البعض. ويمكننا تلخيص هذه القاعدة الحسابية على النحو التالي:
\(\frac{c\cdot a}{d\cdot b}=\frac{c}{d}\cdot \frac{a}{b}\)
حيث أن c ,b ,a و d أعداد صحيحة (قيمة b أو d يجب ألا تساوي الصفر).
الآن سنحسب حاصل ضرب كسرين أكثر تعقيدا باستخدام هذه القاعدة الحسابية:
\(\frac{4}{5}\cdot \frac{3}{7}\)
عندما نقوم بحساب حاصل الضرب نكتبه على شريط كسري جديد و نضرب البسيطين فـي بعضهما و المقامين فـي بعضهما. سنحصل على حاصل الضرب أدناه:
\(\frac{12}{35}=\frac{4\cdot 3}{5\cdot 7}=\frac{4}{5}\cdot \frac{3}{7}\)
احسب حاصل الضرب
\(\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{4}\)
نقوم بحساب حاصل الضرب بضرب البسطين في بعضهما و المقامين في بعضهما:
\(\frac{3}{12}=\frac{1\cdot 3}{3\cdot 4}=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{4}\)
الآن حسبنا حاصل الضرب ولكن يمكننا تبسيط الكسر الاعتيادي الذي حصلنا عليه، لأن كل من البسط 3, و المقام 12 يقبلان القسمة علـى 3. نبسّط الكسر باختصاره بالعدد 3:
\(\frac{1}{4}=\frac{\,\,\frac{3}{{\color{Red} 3}}\,\,}{\frac{12}{{\color{Red} 3}}}=\frac{3}{12}\)
الآن الكسر مكتوب في أبسط صورة له.
احسب حاصل الضرب
\(\frac{3}{18}\cdot 4\)
هذا التعبير عبارة عن عدد صحيح 4 مضروب في كسر اعتيادي \(\frac{3}{18}\). يمكننا إعادة كتابة العدد الصحيح في صورة كسر اعتيادي وهو \(\frac{4}{1}\) (و نفسره على أنه أربعة كاملة)، بالتالي يمكننا استخدام القاعدة الحسابية لضرب الكسور الاعتيادية.
لذا سنعيد كتابة العدد الصحيح 4 في شكل كسر اعتيادي ثم نحسب حاصل الصرب.
\(\frac{12}{18}=\frac{3\cdot 4}{18\cdot 1}=\frac{3}{18}\cdot \frac{4}{1}=\frac{3}{18}\cdot 4\)
وهذا في الحقيقة نفس الكسر إذا أجرينا الحساب مباشرة على النحو التالي:
\(\frac{12}{18}=\frac{{\color{Red} 3}\cdot {\color{Blue} 4}}{18}=\frac{{\color{Red} 3}}{18}\cdot {\color{Blue} 4}\)
بالتالي يمكننا دائما إجراء الحساب بهذا الطريقة عندما يكون حاصل الضرب عبارة عن عدد صحيح مضروب في كسر اعتيادي. باعتبار أن العدد الصحيح هو دائما عبارة عن بسط مقامه واحد و عندما يكون المقام واحد عادة لا يكتب.
يمكننا تبسيط الكسر الاعتيادي الذي حصلنا عليه، لأن كل من البسط (12) و المقام (18) يقبلان القسمة علـى 6:
\(\frac{2}{3}=\frac{\,\,\frac{12}{{\color{Red} 6}}\,\,}{\frac{18}{{\color{Red} 6}}}=\frac{12}{18}\)
الآن الكسر مكتوب في أبسط صورة له.
قسمة الكسور الاعتيادية
ماذا تعني قسمة كسرين اعتياديين؟ يمكننا على سبيل المثال أن نحسب خارج القسمة التالية:
\(\frac{\,\,\frac{1}{2}\,\,}{\frac{1}{8}}\)
يمكننا تفسير هذه القسمة بأننا نريد معرفة كم عدد الأثمان \((\frac{1}{8})\) في النصف \((\frac{1}{2})\).
يمكننا إعادة كتابة النصف \(\frac{1}{2}\) كأثمان وذلك بمضاعفة البسط و المقام بالضرب في 4:
\(\frac{4}{8}=\frac{1\cdot 4}{2\cdot 4}=\frac{1}{2}\)
أي أن النصف يساوي أربعة أثمان. ما يعني أنه يوجد أربعة أثمان في النصف الواحد، لذا يكون خارج قسمة النصف علـى الثُمن يساوي 4:
\(4=\frac{\,\,\frac{1}{2}\,\,}{\frac{1}{8}}\)
لحساب هذه القسمة مباشرة يمكننا استبدال عملية القسمة بين الكسرين لتصبح عملية ضرب كسرين كما يلي:
\(\frac{{\color{Red} 8}}{{\color{Blue} 1}}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\,\,\frac{1}{2}\,\,}{\frac{{\color{Blue} 1}}{{\color{Red} 8}}}\)
حيث قمنا بكتابة كسر البسط كما هو من البداية \((\frac{1}{2})\) وضربناه في مقلوب كسر المقام \((\frac{1}{8})\). نحصل على مقلوب الكسر الاعتيادي من خلال استبدال مواقع البسط والمقام ليصبح المقام بسط و البسط مقام.
نواصل في حساب العملية باستخدام قاعدة ضرب الكسور:
\(4=\frac{8}{2}=\frac{8\cdot 1}{1\cdot 2}=\frac{8}{1}\cdot \frac{1}{2}\)
كما هو متوقع، نتيجة حساباتنا تساوي 4
هنالك قاعدة حساب عامة وهي سارية لقسمة كسرين اعتياديين علـى بعضهما:
\(\frac{d\cdot a}{c\cdot b}=\frac{d}{c}\cdot \frac{a}{b}=\frac{\,\,\frac{a}{b}\,\,}{\frac{c}{d}}\)
حيث أن c ,b ,a و d هي أعداد صحيحة (قيمة c ,b أو d لا تساوي الصفر).
احسب خارج القسمة
\(\frac{\,\,\frac{2}{5}\,\,}{\frac{2}{3}}\)
سنحسب هذه القسمة باستخدام قاعدة حساب قسمة الكسرين الاعتياديين.
لاستخدام هذه القاعدة نبدأ بتحديد مقلوب الكسر \(\frac{2}{3}\) الذي سنحصل عليه بتغيير مواقع البسط 2 والمقام 3. أي أن مقلوب الكسر \(\frac{2}{3}\) هو \(\frac{3}{2}\).
الآن يمكننا حساب هذه القسمة باستخدام قاعدة حساب قسمة الكسرين:
\(\frac{6}{10}=\frac{{\color{Red} 3}\cdot 2}{{\color{Blue} 2}\cdot 5}=\frac{{\color{Red} 3}}{{\color{Blue} 2}}\cdot \frac{2}{5}=\frac{\,\,\frac{2}{5}\,\,}{\frac{{\color{Blue} 2}}{{\color{Red} 3}}}\)
يمكننا تبسيط الكسر الناتج عن طريق اختصاره بقسمة البسط والمقام علـى 2, ما يعطينا الكسر في أبسط صورة له:
\(\frac{3}{5}=\frac{\frac{6}{{\color{Red} 2}}}{\frac{10}{{\color{Red} 2}}}=\frac{6}{10}\)