جمع و طرح الكسور الاعتيادية
في القسم السابق كررنا ما هي الكسور الاعتيادية وكيف يمكننا اختصار أو مضاعفة الكسور الاعتيادية.
في هذا القسم نستعرض كيف يمكننا جمع و طرح الكسور الاعتيادية. وسنلاحظ أننا سنستخدم اختصار و مضاعفة الكسور بصورة كبيرة عند جمع أو طرح الأعداد الكسرية.
الكسور ذات المقامات المشتركة
عندما نريد جمع كسرين اعتياديين لهما نفس المقام، سنكتب عملية الجمع فوق شريط كسري مشترك و نجمع البسطين, سنستخدم مقام واحد وهو أحد المقامين السابقين دون تغيير.
على سبيل المثال يمكننا حساب حاصل جمع الكسرين أدناه:
\(\frac{2}{5}+\frac{1}{5}\)
نكتب المجموع على الشريط الكسري المشترك و نجمع البسيطين:
\(\frac{3}{5}=\frac{{\color{Red} 2}+{\color{Blue} 1}}{5}=\frac{{\color{Red} 2}}{5}+\frac{{\color{Blue} 1}}{5}\)
ونتبع نفس الطريقة عندما نطرح كسرين اعتياديين لهما نفس المقام. الاختلاف هو أننا سنطرح البسطين.
على سبيل المثال يمكننا حساب الفرق بين الكسرين أدناه:
\(\frac{2}{5}-\frac{3}{5}\)
نكتب الفرق فوق شريط الكسر المشترك و نطرح البسيطين:
\(\frac{1}{5}=\frac{{\color{Red} 2}-{\color{Blue} 3}}{5}=\frac{{\color{Red} 2}}{5}-\frac{{\color{Blue} 3}}{5}\)
الكسور ذات المقامات المختلفة
كما رأينا أعلاه من السهل جمع أو طرح كسرين اعتياديين لهما نفس المقام.
ولكن إذا أردنا جمع أو طرح كسور اعتيادية ذات مقامات مختلفة، بالتالي يجب علينا أولا إعادة كتابة أحد الكسرين بحيث يكون لهما نفس المقام (توحيد المقام). وذلك باستخدام الاختصار أو المضاعفة.
بعد إعادة كتابة الكسور و يصبح لها نفس المقام يمكننا حساب المجموع أو الفرق بنفس طريقة التي درسناها أعلاه في هذا القسم.
الآن سنقوم بحساب ثلاثة أمثلة وفيها يجب أولا إعادة كتابة الكسور بإستخدام الإختصار والمضاعفة بحيث يكون لها مقامات مشتركة ثم بعدها اجراء عملية الجمع أو الطرح.
احسب المجموع
\(\frac{1}{3}+\frac{2}{5}\)
نلاحظ أن الحدين لهما مقامين مختلفين (5 و 3). لذا يجب أن نعيد كتابة الكسرين الاعتياديين بحيث يكون لهما مقامان مشتركان (متشابهان).
يمكننا إعادة كتابة الكسرين بحيث يكون لهما مقام مشترك 15, لأن
\(15=3\cdot 5\)
لإعادة كتابة الكسر الأول ليصبح مقامه 15 سنضاعفه بالضرب فـي 3:
\(\frac{6}{15}=\frac{{\color{Blue} 3}\cdot 2}{{\color{Blue} 3}\cdot 5}=\frac{2}{5}\)
وبالمثل نعيد كتابة الكسر الثاني ليصبح مقامه ايضا 15 وذلك بمضاعفته بالضرب فـي 5:
\(\frac{5}{15}=\frac{{\color{Blue} 5}\cdot 1}{{\color{Blue} 5}\cdot 3}=\frac{1}{3}\)
الآن أعدنا كتابة الكسرين و أصبح لديهما مقام مشترك وهو 15. لذلك يمكننا اعادة كتابة المجموع الأصلي على النحو التالي:
\(\frac{5}{15}+\frac{6}{15}=\frac{1}{3}+\frac{2}{5}\)
بما أن الكسرين الآن لهما نفس المقام (15)، يمكننا بسهولة جمع الكسرين بكتابتهما على شريط الكسر المشترك و جمع البسطين.
\(\frac{11}{15}=\frac{{\color{Red} 5}+{\color{Blue} 6}}{15}=\frac{{\color{Red} 5}}{15}+\frac{{\color{Blue} 6}}{15}\)
الآن جمعنا الكسرين والمجموع هو إحدى عشر علـى خمسة عشر، ما توصلنا إليه لا يمكن تبسيطه أكثر من ذلك. إذن هذه هي أبسط صورة لهذا لكسر.
احسب الفرق
\(\frac{1}{3}-\frac{2}{5}\)
بنفس الطريقة كما في المثال السابق نلاحظ أن الحدين لهما مقامين مختلفين (5 و 3). لذا سنضاعف الكسرين بنفس الطريقة التي اتبعناها في المثال السابق تماما ليكون لهما مقام مشترك هو 15.
وسنحصل على ما يلي:
\(\frac{5}{15}-\frac{6}{15}=\frac{1}{3}-\frac{2}{5}\)
الآن الكسرين لهما نفس المقام (15)، بالتالي يمكننا بسهولة طرح الكسرين بكتابتهما على شريط الكسر المشترك و طرح البسطين على النحو التالي:
\(\frac{1}{15}=\frac{{\color{Red} 5}-{\color{Blue} 6}}{15}=\frac{{\color{Red} 5}}{15}-\frac{{\color{Blue} 6}}{15}\)
الآن طرحنا الكسرين و الفرق هو واحد علـى خمسة عشر، ما توصلنا إليه لا يمكن تبسيطه أكثر من ذلك. إذن هذا الكسر مكتوب في أبسط صورة له.
احسب الفرق
\(\frac{1}{6}-\frac{10}{12}\)
نلاحظ مباشرة أن الحدين لهما مقامين مختلفين (12 و 6). في هذه الحالة توجد طرق مختلفة لإعادة كتابة الكسرين ليكون لهما مقامين مشتركين. يمكننا إعادة كتابة الكسرين ليكون مقاميهما 12 أو إعادة كتابتهما ليكون المقامين 6.
إذا استخدمنا طريقة الأمثلة السابقة، سنضاعف الكسر \(\frac{1}{6}\) بضربه فـي 2 ليكون مقامه 12:
\(\frac{2}{12}=\frac{{\color{Blue} 2}\cdot 1}{{\color{Blue} 2}\cdot 6}=\frac{1}{6}\)
الآن يمكننا إعادة كتابة التعبير الأصلي و حساب الفرق ببساطة:
\(\frac{8}{12}=\frac{2-10}{12}=\frac{2}{12}-\frac{10}{12}\)
وهذه طريقة من طُرق حل هذه المهمة. ولكن يمكننا إعادة كتابة الكسرين ليكون لهما مقام مشترك آخر وهو 6. وذلك باختصار الكسر \(\frac{10}{12}\) بالعدد 2, وهذا لأن البسط 10 و المقام 12 يقبلان القسمة علـى 2. وباختصار هذا الكسر بــ 2 سنحصل على:
\(\frac{5}{6}=\frac{\,\,\frac{10}{{\color{Red} 2}}\,\,}{\frac{12}{{\color{Red} 2}}}=\frac{10}{12}\)
الآن يمكننا إعادة كتابة التعبير الأصلي و حساب الفرق ببساطة:
\(\frac{4}{6}=\frac{1-5}{6}=\frac{1}{6}-\frac{5}{6}\)
الآن بعد استخدام طريقتين مختلفتين يمكن أن نلاحظ أننا حصلنا على كسرين مختلفين حَسَب المقام المشترك المستخدم. في الحالة الأولى حصلنا على الكسر \(\frac{8}{12}\) وفي الحالة الثانية حصلنا على الكسر \(\frac{4}{6}\). في الحقيقة هما فقط طريقتين مختلفتين لكتابة قيمة واحدة.
إذا أردنا كتابة الإجابة في أبسط صورة سنستخدم الاختصار, في الحالة الأولى سنحصل على
\(\frac{2}{3}=\frac{\,\,\frac{8}{{\color{Red} 4}}\,\,}{\frac{12}{{\color{Red} 4}}}=\frac{8}{12}\)
و في الحالة الثانية سنحصل على
\(\frac{2}{3}=\frac{\,\,\frac{4}{{\color{Red} 2}}\,\,}{\frac{6}{{\color{Red} 2}}}=\frac{4}{6}\)
في النهاية سنحصل دائما على نفس الإجابة بغض النظر عن طريقة الحل التي استخدمناها.