التعبيرات مع الأقواس
في هذا القسم سنتعلم حساب التعبيرات الرياضية التي تحتوي على أقواس. سندرس كيفية عمل الأقواس مع العمليات الحسابية الأربع وماذا سيحدث مع الأقواس عند تبسيط التعبيرات.
كتابة التعبيرات مع الأقواس
تخيل أن لدينا عائلة تتكون من أربعة أشخاص و سيذهبون إلى السينما معا. كُل فرد من أفراد الأسرة سيكون معه تذكرة السينما بتكلفة 100 كرونة، كيس من الحلوى بسعر 20 كرونة و مشروب بسعر 30 كرونة.
إذا أردنا كتابة تعبير رياضي بإجمالي تكلفة الأسرة للذهاب إلى السينما يمكننا كتابته على النحو التالي:
\(20\cdot 4+30\cdot 4+100\cdot 4\)
يمكننا حساب قيمة هذا التعبير كما يلي:
\(=20\cdot 4+30\cdot 4+100\cdot 4\)
\(600=80+120+400=\)
تكلفة ذهاب الأسرة للسينما هي 600 كرونة.
ولكن كتابة التعبير بهذه الطريقة قد تكون غير عملية إلى حد ما. نعلم أن تكلفة الذهاب للسينما لكُل فرد من أفراد الأسرة متساوية للجميع (تذكرة السينما، كيس الحلوى و المشروب)، لذا يمكننا كتابة التعبير باستخدام قوسين كما يلي:
\((20+30+100)\cdot 4\)
لحساب قيمة هذا التعبير يجب علينا مُراعاة ترتيب العمليات و حساب قيمة ما بين الأقواس أولا. لذلك يمكننا حساب قيمة التعبير على النحو التالي:
\(=(20+30+100)\cdot 4\)
\(600=150\cdot 4=\)
على الرغم من أننا كتبنا التعبير بهذه الطريقة توصلنا إلى أن إجمالي تكلفة الذهاب إلى السينما هي 600 كرونة للأسرة.
بهذه الطريقة يمكننا استخدام الأقواس لكتابة التعبيرات.
أحسب قيمة التعبيرات
1) \(5+10\cdot 2\)
2) \((5+10)\cdot 2\)
الحلول
1)
علينا أن نتذكر ترتيب العمليات بحيث يجب اجراء الضرب أولا وبعد ذلك الجمع. لذا قيمة هذا التعبير هي:
\(25=5+20=5+10\cdot 2\)
2)
هذا التعبير تقريباً مشابه للتعبير الوارد في المهمة الفرعية السابقة، ولكن لأننا لدينا أقواس في هذا التعبير يجب أن نحسب التعبير وفقا لترتيب العمليات بحيث نحسب ما بين الأقواس أولا. ثم نجري الضرب. لذا قيمة هذا التعبير هي:
\(30=15\cdot 2=(5+10)\cdot 2\)
نلاحظ قيمة التعبير التي حصلنا عليها في هذه المهمة الفرعية مختلفة عن القيمة السابقة. وهذا يعود الى الأقواس, وهي التي غيرت معنى التعبير.
إزالة الأقواس
الآن لاحظنا أن الأقواس يمكن أن تغير معنى التعبير. ما يعني أن احتواء التعبير على أقواس قد يؤثر على ترتيب عمليات حساب التعبير.
إذا احتوت أقواس على متغير لا يمكن حساب قيمة التعبير داخل الأقواس ما لم نعلم قيمة المتغير. ولكن بالطبع نريد أن نكون قادرين على تبسيط التعبير بقدر الإمكان. لذلك نحتاج إلى معرفة كيف يمكن تبسيط التعبير الذي يحتوي على أقواس - كيف يمكننا إزالة الأقواس.
سندرس الآن كيف يمكن إزالة الأقواس بجمع أو طرح ما بداخل الأقواس على التوالي.
إزالة الأقواس بالجمع
دعونا ننظر الى بعض الأمثلة لنري كيف يمكن أن يكون هذا عند إجراء عملية جمع الأقواس.
إذا كان لدينا تعبير به عملية جمع بين قوسين كما يلي
\((3+4)+5\)
يمكننا حساب قيمة هذا التعبير الكلية بجمع الحدود بين القوسين (4 زائد 3) ثم إضافة هذا المجموع الى الحد الموجود خارج القوسين (5). عندئذ سنحصل على الحساب التالي:
\(12=7+5=(3+4)+5\)
وهذا هو نفس المجموع الذي سنحصل عليه إذا لم يكن لدينا أية أقواس في التعبير:
\(12=3+4+5\)
بصورة عامة يمكننا إزالة الأقواس مباشرة عندما يكون لدينا ثلاثة أعداد b ,a و c كما في مثل هذا النوع من التعبيرات:
\(c+b+a=(c+b)+a\)
يمكن أيضا أن يكون لدينا تعبيرات بها عملية طرح داخل قوسين كما يلي
\((3-4)+5\)
حتى في هذه الحالة يمكننا حساب قيمة التعبير عن طريق حساب الفرق بين الحدين الموجود داخل القوسين (4 ناقص 3) ثم اضافته الى الحد الموجود خارج القوسين (5). عندئذ سنحصل على الحساب التالي:
\(6=1+5=(3-4)+5\)
وهذا هو نفس المجموع الذي سنحصل عليه إذا لم يكن لدينا أية أقواس في التعبير:
\(6=3-4+5\)
بصورة عامة يمكننا إزالة الأقواس مباشرة عندما يكون لدينا ثلاثة أعداد b ,a و c كما في مثل هذا النوع من التعبيرات:
\(c-b+a=(c-b)+a\)
بَسّـط هذه التعبيرات
1) \((7+x)+2\)
2) \((7-x)+2\)
الحلول
1)
بما أننا سنجمع القوسين يمكننا إزالة الأقواس مباشرة لتبسيط التعبير:
\(=(7+x)+2\)
\(=7+x+2=\)
\(9+x=\)
2)
أيضا في هذه الحالة سنجمع القوسين (حاصل طرح ما بين القوسين) مع الــ 2, لذا يمكننا إزالة الأقواس مباشرة:
\((7-x)+2=\)
\(=7-x+2=\)
\(5-x=\)
إزالة الأقواس بالطرح
في حالة إضافة القوسين خلصنا إلى أنه يمكن إزالة الأقواس مباشرة. أما في حالة طرح قوسين ليست بنفس السهولة إزالة الأقواس، وهذا ما سنراه قريبا.
دعونا ننظر الى بعض الأمثلة لنري كيف يمكن أن يكون هذا عند إجراء عملية طرح الأقواس.
إذا كان لدينا تعبير به عملية جمع بين قوسين كما يلي
\((3+4)-5\)
بالتالي يمكننا حساب قيمة التعبير الكلية على النحو التالي:
\(2-=7-5=(3+4)-5\)
إذا حاولنا حساب قيمة التعبير بدون أقواس كما في الطريقة التي استخدمناها سابقا في هذا القسم، عندها سوف لن نحصل على نفس النتيجة:
\(4=3+4-5\)
بنفس الطريقة سنحصل على نتائج مختلفة إذا كان لدينا عملية طرح داخل القوسين:
\(4=1-5=(3-4)-5\)
وهذا بالطبع ليس كما يلي
\(2-=3-4-5\)
للحصول على نتائج صحيحة عندما نطرح ما بين القوسين، يجب تغيير العلامة أمام كل حد داخل القوسين لإزالة الأقواس (أي استبدال علامة الزائد بعلامة ناقص و علامة الناقص بعلامة زائد).
بمعني أنه في المثال أعلاه سيكون اجراء الحساب على النحو التالي:
\(2-=3-4-5=(3+4)-5\)
و
\(4=3+4-5=(3-4)-5\)
بصورة عامة إذا كان لدينا تعبير مثل هذه التعبيرات و يحتوي على ثلاثة أعداد b ,a و c يجب تغيير العلامة أمام كل حد داخل القوسين لإزالة الأقواس، كما في التعبير التالي:
\(c-b-a=(c+b)-a\)
و
\(c+b-a=(c-b)-a\)
بَسّـط التعبير
\((x+5)-x\)
هذا التعبير يتكون من حد متغير x مطروح منه تعبير داخل قوسين. هذا يعني أنه يمكن إزالة القوسين مع مراعاة تغيير الاشارات أمام كل حد من الحدود داخل القوسين.
لذا سنحصل على ما يلي عند تبسيط التعبير:
\(=(x+5)-x\)
\(=x-5-x=\)
\(5-=\)
بَسّـط التعبير
\((3-y2)-y\)
هذا التعبير يتكون من حد متغير y مطروح منه تعبير داخل قوسين. ما يعني أنه يمكن إزالة القوسين مع مراعاة تغيير الاشارات أمام كل حد من الحدود داخل القوسين.
لذا سنحصل على ما يلي عند تبسيط التعبير:
\(=(3-y2)-y\)
\(=3+y2-y=\)
\(3+y-=\)