اختصار و مضاعفة الكسور
في القسم السابق تعلمنا كتابة الأعداد الكسرية بطُرق مختلفة، بما في ذلك كتابتها في أبسط صورة.
في هذا القسم سنتعلم المزيد عن كيفية كتابة الكسور الاعتيادية في صورة مختصرة و صورة مضاعفة.
اختصار الكسور الاعتيادية
رأينا في السابق أن الرُبعين هما مثل النصف. وهذا يمكن كتابته كما يلي:
\(\frac{1}{2}=\frac{2}{4}\)
في مثل هذه الحالة من السهل جدا أن نرى أن هاتين الطريقتين لكتابة الكسور لهما قيمتين متساويتين. ولكن في بعض الأحيان يكون لدينا كسور اعتيادية قد يصعب إعادة كتابتها في صورة أخري.
لذا من الجيد أن يكون هناك طريقة حساب معروفة كالاختصار. عندما نقوم باختصار كسر ما، نقوم بقسمة كل من البسط و المقام على عدد معين. إذا أردنا على سبيل المثال اختصار الرُبعين، يمكننا قسمة كل من البسط و المقام على 2 لنحصل على نصف:
\(\frac{1}{2}=\frac{\,\,\frac{2}{{\color{Red} 2}}\,\,}{\frac{4}{{\color{Red} 2}}}=\frac{2}{4}\)
في هذا المثال اختصرنا الكسر بالقسمة على 2 لأن البسط و المقام يقبلان القسمة على 2
في بعض الأحيان يكون لدينا كسور معقدة نريد اختصارها. على سبيل المثال قد نريد اختصار الكسر التالي:
\(\frac{9}{15}\)
إذا نظرنا الي بسط و مقام هذا الكسر، يمكننا ملاحظة أن كلا من البسط و المقام يقبلان القسمة على 3. إذن يمكننا اختصاره بقسمة البسط و المقام على 3:
\(\frac{3}{5}=\frac{\,\,\frac{9}{{\color{Red} 3}}\,\,}{\frac{15}{{\color{Red} 3}}}=\frac{9}{15}\)
وهذا يعني أن تسعة علـى خمسة عشر (9÷15) تساوي ثلاثة أخماس. وبما أنه لا يوجد عدد صحيح آخر أكبر من الـ 1 يمكننا أن نقسم عليه كل من البسط و المقام، نحصل فقط على الكسر أدناه
\(\frac{3}{5}\)
وهذه هي أبسط صورة للكسر \(\frac{9}{15}\)
اختصر الأعداد التالية لأبسط صورة
1) \(\frac{20}{35}\)
أولا نبحث عن العدد الذي يمكن أن نختصر به الكسر الاعتيادي. سنجد أن الـ 20 و 35 هما من مضاعفات الـ5 . لذا يمكن اختصار الكسر بقسمة البسط و المقام علــي 5:
\(\frac{4}{7}=\frac{\,\,\frac{20}{{\color{Red} 5}}\,\,}{\frac{35}{{\color{Red} 5}}}=\frac{20}{35}\)
الآن لا يمكننا اختصار الكسر أكثر من ذلك. لأن هذه هي أبسط صورة له.
2) \(\frac{14}{42}\)
نبحث عن العدد المناسب لاختصار الكسر. في الواقع هناك أكثر من عدد يمكن استخدامه لاختصار هذا الكسر، و لكن يمكن أن نلاحظ أن كلا من البسط (14) و المقام (42) عبارة عن أعداد زوجية، لذا يمكن أن نقسم علـى 2. إذن يمكن اختصار الكسر بالقسمة علـي 2:
\(\frac{7}{21}=\frac{\,\,\frac{14}{{\color{Red} 2}}\,\,}{\frac{42}{{\color{Red} 2}}}=\frac{14}{42}\)
هل يمكننا اختصار هذا الكسر أكثر من ذلك؟ نعم، نلاحظ أن البسط الجديد (7) و المقام الجديد (21) يقبلان القسمة على 7. إذن سنواصل اختصار الكسر بالقسمة علـي 7:
\(\frac{1}{3}=\frac{\frac{7}{{\color{Red} 7}}}{\frac{21}{{\color{Red} 7}}}=\frac{7}{21}\)
الآن أصبح الكسر في أبسط صورة له، و لا يمكننا اختصاره أكثر من ذلك.
مضاعفة الكسور
في بعض الأحيان يكون لدينا كسرين و نريد أن نعرف أيهما أكبر. لدينا طريقة واحدة لمعرفة ذلك وهي مضاعفة الكسور، و ذلك ليكون لهما نفس المقام.
على سبيل المثال أيهما أكبر
\(\frac{3}{5}\)
أم
\(\frac{5}{8}\)
نلاحظ أن الكسرين لهما مقامين مختلفين. نعلم أن الخُمس أكبر من الثُمن:
\(\frac{1}{5}\) 
\(\frac{1}{8}\) 
بما أن الكسرين لهما مقامين مختلفين، قد يكون من الصعب معرفة أي منهما الأكبر. لذا نحتاج إلى إعادة كتابة الكسور حتى يكون لهما نفس المقام، و بالتالي يمكننا المقارنة بين قيّم الكسرين.
لمضاعفة أي كسر اعتيادي نقوم بضرب كل من البسط و المقام في عدد معين. إذا أردنا مقارنة الكسرين الاعتياديين أعلاه علينا أن نجد عدد مناسب لضربه في البسط و المقام. و لأننا نريد أن يكون للكسرين مقام مشترك، يمكننا مضاعفة الكسر الأول بالعدد 8 و مضاعفة الكسر الثاني بالعدد 5. عند مضاعفة الكسر الأول بالعدد 8 نحصل علي:
\(\frac{24}{40}=\frac{{\color{Blue}{8×}}3}{{\color{Blue}{8×}}5}=\frac{3}{5}\)
إذن الثلاثة أخماس هي نفسها أربعة وعشرون علـى أربعين. الآن نضاعف الكسر الثاني بالعدد 5 لنحصل علي:
\(\frac{25}{40}=\frac{{\color{Blue}{5×}5}}{{\color{Blue} {5×}8}}=\frac{5}{8}\)
الآن نعيد كتابة الكسرين بحيث يكون لهما نفس المقام وهو 40. و هذا يعني أننا فقط نحتاج الي المقارنة بين البسطين لمعرفة أي الكسرين أكبر. و لأن البسط 25 أكبر من البسط 24 فإن
\(\frac{25}{40}\) أكبر من \(\frac{24}{40}\)
و هذا يعني أن
\(\frac{5}{8}\) أكبر من \(\frac{3}{5}\)
ضاعف الكسور التالية بحيث يصبح المقام 100
1) \(\frac{3}{4}\)
لمضاعفة هذا الكسر بحيث يكون المقام مساويا للعدد 100, نبحث عن أي عدد يمكن ضربه في 4 ليكون حاصل الضرب مساويا للعدد 100. لذا سيكون لدينا:
\(100=\square×4\)
العدد هو 25 لأن
\(100=25×4\)
إذن يمكن مضاعفة الكسر الأصلي بضرب البسط و المقام فــي 25, مما يعطينا:
\(\frac{75}{100}=\frac{{\color{Blue} {25×}}3}{{\color{Blue} {25×}}4}=\frac{3}{4}\)
الآن أصبح مقام الكسر 100.
2) \(\frac{7}{20}\)
بنفس طريقة التمرين أعلاه، نبحث عن العدد الذي يمكن ضربه فـي 20 ليكون حاصل الضرب 100.
\(100=\square×20\)
هنا نبحث عن العدد 5 لأن
\(100=5×20\)
إذن يمكن مضاعفة الكسر الأصلي بضرب البسط و المقام فــي 25, مما يعطينا:
\(\frac{35}{100}=\frac{{\color{Blue}{5×}}7}{{\color{Blue}{5×}}20}=\frac{7}{20}\)
الآن أصبح مقام الكسر 100
فيديو الدرس (يالسويدية)
اليكم بعض الأمثلة علي كيفية اختصار و مضاعفة الكسور.