كتابة المعادلة
تعلمنا سابقا ما هي المعادلة وحاولنا كتابة المعادلات البسيطة. كما درسنا كيفية إيجاد حلول المعادلات.
في هذا الفصل سنتدرب أكثر على كتابة المعادلات. وذلك من خلال النظر إلى عدد من الأمثلة ذات درجات صعوبة مختلفة.
كتابة المعادلة
لكتابة المعادلة نبدأ بمسألة معينة و نصفها باستخدام المعادلة. عندما نكتب المعادلة يمكننا الاستمرار في محاولة حل المعادلة.
أحسب عُمْر كايسا
عندما كان عُمْر كايسا الضعف كانت أصغر من أختها الأكبر ربيكا بسنة واحدة. مع العلم أن عُمْر أخت كايسا الأكبر ربيكا كان 15 سنة.
كم عُمْر كايسا؟ صِف هذه المسألة بكتابة معادلة رياضية ثم حِلها.
ملاحظة: كايسا و ربيكا هما أسماء بنات.
الحل:
بما أننا نريد معرفة عُمْر كايسا يمكننا أن نكتب أن عُمْر كايسا هو \(x\) سنة.
عندما يصل عُمْر كايسا الي الضعف سيكون عُمْرها \(2x\) سنة. لكن هذه الــ \(2x\) سنة أقل من 15 سنة بسنة واحدة, أي أن \(1+2x\) هي التي تساوي 15. لذا يمكننا ان نكتب معادلة رياضية لوصف عُمْر كايسا كما يلي:
\(15=1+2x\)
بحل هذه المعادلة يمكننا معرفة عُمْر كايسا.
إذا نظرنا إلى المعادلة نلاحظ أن مجموع \(2x\) زائد 1 يساوي 15. لذا يجب أن يكون \(2x\) مساويا لـ 14, بالتالي يمكن طرح 1 من طرفي المعادلة حتي يصبح الطرف الأيمن \(2x\).
\(1-15=1-1+2x\)
\(14=2x\)
نقسم طرفي المعادلة علــى 2 للحصول على قيمة \(x\).
\(\frac{14}{2}=\frac{2x}{2}\)
\(7 = x\)
بمعني آخر, لكي تكون \(2x\) مساويا لـ 14 يجب أن يكون \(x\) مساويا لـ 7, بالتالي \(7 = x\) هو حل المعادلة.
وهذا يعني أن عُمْر كايسا هو 7 سنوات.
تعرف على العدد الذي يفكر فيه توبياس (توبياس هو اسم)
توبياس يفكر في عدد ما. إذا ضرب توبياس هذا العدد فــي 3 أولا ثم طرح منه 5 سيحصل على 19.
ما هو العدد الذي كان يفكر فيه توبياس؟ صِف هذه المسألة بكتابة معادلة رياضية ثم حِلها.
الحل:
نرمز للعدد الذي فكر فيه توبياس بـ \(x\). عند ضرب العدد \(x\) فــي 3 حصل توبياس على \(3x\). ثم طرح 5 من \(3x\). بالتالي يمكننا كتابة التعبير الرياضي التالي:
\(5-3x\)
هذا العدد الذي حصل عليه توبياس يجب أن يساوي 19. بالتالي يمكن أن نكتب هذه المعادلة:
\(19=5-3x\)
بحل هذه المعادلة سنتحصل على العدد \(x\) الذي فكر فيه توبياس في البداية.
العدد \(3x\) ناقص 5 يجب أن يساوي 19. إذن \(3x\) يجب أن يساوي 24:
\(24=3x\)
حاصل ضرب 3 فــي \(x\) يساوي 24. إذن الحل الوحيد الممكن هو \(8 = x\), وهذا هو حل المعادلة. إذن العدد الذي كان يفكر فيه توبياس في البداية هو 8.
رحلة على الطريق
ماريا في رحلة على الطريق في السويد. ترغب ماريا في معرفة كمية البنزين الموجودة في خزان البنزين بسيارتها عندما بدأت رحلتها.
إذا كانت تعلم أن سيارتها تستهلك لتر من البنزين لكل ميل. و تعلم أيضا أنها قادت السيارة لمسافة 10 أميال منذ أن بدأت الرحلة. بعد أن قادت السيارة لمسافة 10 أميال اتجهت إلى محطة الوقود و ملأت خزان الوقود بـ 40 لتر بنزين. بعدها لاحظة أن خزان الوقود به 50 لتر بنزين.
كم كمية الوقود التي كانت في خزان الوقود بسيارة ماريا عندما بدأت رحلتها؟ صِف هذه المسألة بكتابة معادلة رياضية ثم حِلها.
الحل:
يمكن نرمز لعدد لترات البنزين في خزان الوقود عندما بدأت الرحلة بـ \(x\) لتر.
بما أن السيارة تستهلك لتر واحد من البنزين لكل ميل، سوف يتبقى بالسيارة \((10-x)\) لتر من البنزين بعد قيادة ماريا لمسافة 10 أميال. ثم قامت ماريا بتعبئة خزان الوقود بـ 40 لتر بنزين، ما يعني أنه يمكننا كتابة عدد لترات البنزين الموجودة في خزان الوقود بعد التعبئة كما يلي:
\(40+10-x\)
نعلم أن ماريا لاحظة وجود 50 لتر بنزين في الخزان بعد التعبئة، بالتالي يمكننا كتابة المعادلة التالية:
\(50=40+10-x\)
يمكننا تبسيط طرف المعادلة الأيمن كما يلي.
\(50=40+10-x\)
\(50=30+x\)
الآن تحصلنا على المعادلة و يمكننا الاستمرار في محاولة حل المعادلة.
العدد x زائد 30 يساوي 50, إذن \(x\) لابد أن تكون قيمتها 20:
\(50=30+20\)
إذن حل المعادلة هو أن \(20 = x\), ما يعني أنه كان في خزان الوقود 20 لتر من البنزين عندما بدأت ماريا رحلتها.