الحساب بالنسب المئوية
سابقا في قسمي النسبة المئوية و (النسبة, الجزء و الكل) تعلمنا كيفية حساب النسبة المئوية اذا عرفنا الجزء و الكل.
بناءاً على هذا سنواصل في هذا القسم المزيد من حسابات النسب المئوية.
تقريب النسب المئوية
كما رأينا في قسم الكسور لا يمكننا دائما الحصول على إجابة مضبوطة عند إجراء القسمة.
على سبيل المثال نعرف أن الكسر 1\3 له القيمة العشرية ادناه
\(0,3333...=\frac{1}{3}\)
بمعنى آخر هذا الكسر 1\3 له عدد لا نهائي من الأرقام العشرية عند كتابته في شكل كسر عشري.
يمكن تفسير الكسر 1\3 بأنه هو نسبة الجزء (1) من الكل (3). القيمة العشرية \(...0,3333\) هي النسبة المئوية \( 33,33...\,\%\).
في بعض الأحيان نريد النسبة مئوية بالتقريب، على سبيل المثال نقرب الي نسبة مئوية صحيحة كما يلي
\(33\,\%\approx 33,33...\%=0,3333...=\frac{1}{3}\)
الثُلث هو عبارة عن 33% بالتقريب.
اكتب هذه الأعداد في شكل نسب مئوية.
قرب الاجابة إلى خانة عشرية واحدة.
1) \(0,875\)
لتحويل العدد من كسر عشري إلى نسبة مئوية علينا تحديد قيّم الأرقام في الخانات الموجودة.
رقم خانة الآحاد (العدد الصحيح) هو 0, ما يعني أن العدد بالنسبة المئوية سيكون أقل من 100%.
80% رقم الجزء من العشرة هو 8 وهذا يعطينا.
رقم الجزء من مائة هو 7 وهذا يعطينا %7 إضافية.
رقم الجزء من ألف هو 5 وهذا يعطينا %0,5 إضافية.
نجمع النسب المئوية
\(87,5\,\%=0,5\,\%+7\,\%+80\,\%\)
العدد 0,875 في صورة نسبة مئوية هو 87,5%. في هذه الحالة لا نحتاج لتقريب النسبة المئوية, لأنه مكتوب بخانة عشرية واحدة وهو المطلوب.
2) \(\frac{2}{3}\)
في هذه الحالة لدينا عدد في شكل كسر اعتيادي. كيف يمكننا الحصول علي نسبته المئوية؟
حسنا، عرفنا في السابق كيفية كتابة الثُلث في شكل نسبة مئوية:
\(33\,\%\approx33,33... \%=0,3333...=\frac{1}{3}\)
نلاحظ أن الكسر 2\3 هو ضعف الـ 1\3. لذلك يمكننا كتابته على النحو التالي:
\(=0,3333...×2=\frac{1}{3}×2=\frac{2}{3}\)
\(66,66...\,\%=0,6666...=\)
لتقريب هذه النسبة المئوية الي خانة عشرية واحدة ننظر إلى الرقم الموجود في خانة الجزء من المائة وهو 6. وفقا لقواعد التقريب نحذف الـ 6 و نضيف 1 الي خانة الجزء من العشرة.
وبهذا نحصل على اجابة تقريبية مُقربة الي خانة عشرية واحدة:
\(66,7\,\%\approx66,66...\,\%=\frac{2}{3}\)
حساب النسبة المئوية في المتجر
إذا ذهبت إلى متجر ملابس ومعك 300 كرونة في محفظتك و اشتريت سِترة بمبلغ 120 كرونة، كم في المئة من الـ 300 كرونة تم انفاقه لشراء السترة؟ ما هي النسبة المئوية لما تبقى من الـ 300 كرونة بعد الشراء؟
نرجع الي العلاقة التي تربط كل من النسبة، الجزء و الكل، التي تحدثنا عنها في القسم السابق:
\(\frac{الجزء}{الكل}=النسبة\)
النسبة = الجزء ÷ الكل
إذا كانت الـ 300 كرونة هي الكل و سعر السِترة 120 كرونة هو الجزء، يمكننا حساب نسبة الجزء (120 كرونة) من الكل كما يلي:
النسبة \(40\,\%=\frac{40}{100}=\frac{\,\,\frac{120}{{\color{Red} 3}}\,\,}{\frac{300}{{\color{Red} 3}}}=\frac{120}{300}=\)
إذن سعر السترة 120 كرونة يساوي %40 من الـ 300 كرونة التي كانت معك في المحفظة عندما ذهبت إلى المتجر.
ما هي النسبة المئوية لما تبقى من الـ 300 كرونة بعد الشراء؟
بما أن الـ 300 كرونة هي الكل أي %100 من المال الذي كان معك و اشتريت بــ %40 من المال سيكون المتبقي هو %100 ناقص %40.
\(60\,\%=40\,\%-100\,\%\)
إذن تبقي معك %60 من المال الذي كان في محفظتك عندما ذهبت إلى المتجر. تم حساب النسبة المئوية للمتبقي بهذه الطريقة لأننا قمنا بحساب النسبة المئوية لما تم إنفاقه في الشراء.
الطريقة الأخرى لحساب النسبة المئوية المتبقي هي أن نحسب أولا كم الجزء المتبقي من الكل. و من ثم نحسب النسبة:
أولا كان لديك 300 كرونة و أنفقت 120 كرونة. ما تبقى معك من مال هو:
300 كرونة - 120 كرونة = 180 كرونة
ما هي نسبة الـ 180 كرونة من الـ 300 كرونة؟ نستخدم العلاقة بين النسبة، الجزء و الكل. في هذه الحالة الجزء هو 180 كرونة وهو المبلغ المتبقي.
النسبة = الجزء ÷ الكل \(60\,\%=\frac{60}{100}=\frac{\,\,\frac{180}{{\color{Red} 3}}\,\,}{\frac{300}{{\color{Red} 3}}}=\frac{180}{300}=\)
وهي نفس الاجابة أعلاه.
تقييم الجزء
قمنا في السابق بحساب النسبة المئوية التي يشكلها جزء معين من الكل. على سبيل المثال النسبة المئوية لــ 120 كرونة من الـ 300 كرونة, وهي %40.
الآن سندرس حالة مشابه، وهي حساب مقدار الجزء إذا علمنا النسبة المئوية.
ادخر الأخوين سارة و ميشيل مبلغ من المال لشراء دراجة جميلة. و لأن سارة ستستخدم الدراجة أكثر من ميشيل، اتفقا على أن تدفع سارة %60 من سِعر الدراجة و يدفع ميشيل %40.
الآن كم يجب علي سارة أن تدفع من المال إذا كانت تكلفة الدراجة 600 كرونة.
في هذه الحالة، نعرف كم تكلفة الدراجة وهي 600 كرونة. لذا الكل هو 600 كرونة. و نعلم أيضا أن نسبة ما ستدفعه سارة هي %60 من الـ 600 كرونة. ما نريد معرفته هو كم يبلغ الجزء الذي يجب أن تدفعه سارة.
لمعرفة ذلك يمكننا استخدام نفس العلاقة بين النسبة، الجزء و الكل و لكن بصورة أخري كما يلي:
الجزء = النسبة × الكل
باستخدام هذه العلاقة يمكننا حساب الجزء الذي ستدفعه سارة بالكرونات. أولاً نكتب النسبة %60 في شكل كسر عشري وهي 0,60:
الجزء = النسبة × الكل =
= 60% × 600 كرونة =
= 0,60 × 600 كرونة =
= 0,10 × 6 × 600 كرونة =
= 0,10 × 3600 كرونة = 360 كرونة
ما قمنا بحسابه الآن هو الجزء من سعر الدراجة الذي ستدفعه سارة وهو 360 كرونة.
أحسب المبلغ
1) 15% من الـ 300 كرونة.
نستخدم العلاقة بين النسبة، الجزء و الكل، حيث أن %15 هي النسبة و الـ 300 كرونة هي الكل. مقدار الـ %15 من الـ 300 كرونة هو
الجزء = النسبة × الكل =
= 0,15 × 300 كرونة =
= 0,01 × 15 × 300 كرونة =
= 0,01 × 4500 كرونة = 45 كرونة
الاجابة: %15 من الـ 300 كرونة هي 45 كرونة.
2) 7% من الـ 800 كرونة.
بنفس الطريقة نستخدم هنا العلاقة بين النسبة, الجزء و الكل. النسبة %7 و الكل هو 800 كرونة. اذن %7 من الـ 800 كرونة هي
الجزء = النسبة × الكل =
= 0,07 × 800 كرونة =
= 0,01 × 7 × 800 كرونة =
= 0,01 × 5600 كرونة = 56 كرونة
الاجابة: %7 من الـ 800 كرونة هي 56 كرونة.
فيديو الدرس (بالسويدية)
هنا لدينا مثالين على تخفيض الأسعار.