حَل المعادلات
في الصف الثامن تدربنا كثيرا على استنتاج وكتابة المعادلات كما تدربنا على حَل المعادلات. بما في ذلك تعلمنا حَل المعادلات باستخدام طريقة الموازنة.
في الأقسام السابقة من هذا الباب تعلمنا كيف نبسط التعبيرات التي تحتوي على أقواس.
الآن سنتدرب على حَل المعادلات التي تحتوي على متغيرات في كلا الطرفين والمعادلات التي فيها حاصل قسمة يحتوي مقامه على متغيرات.
حَل المعادلات بطريقة الموازنة
حَل المعادلة يعني إجاد قَيّم المتغيرات الموجودة في المعادلة، بحيث يكون طرفي المعادلة متساويين.
في هذا القسم سنحل عدد من المعادلات، ولكن سنبدأ بتكرار ما فعلناه عند حَل المعادلات باستخدام طريقة الموازنة.
الموازنة تعني أنه عند إجراء عملية جمع، طرح، ضرب او قسمة في أحد طرفي المعادلة، فيجب إجراء نفس العملية في الطرف الآخر للحفاظ على اتزان الطرفين.
لنفترض أن لدينا المعادلة التالية:
\( 6=4+x2\)
إذا أضفنا على سبيل المثال 2 إلى أحد طرفي المعادلة فمن ثم يجب أيضا إضافة 2 إلى الطرف الآخر من المعادلة:
\(6=4+x2\)
\({\color{Blue} {2\,+}}\,6={\color{Blue}{ 2\,+}}\,4+x2\)
\(8=6+x2\)
نفس الشيء يكون صحيحا إذا قمنا بطرح 2 من أحد طرفي المعادلة، فمن ثم سنحتاج الى فعل نفس الشيء في الطرف الآخر:
\(6=4+x2\)
\({\color{Blue}{ 2\,-}}\,6={\color{Blue}{2\,-}}\,4+x2\)
\(4=2+x2\)
أيضا إذا ضربنا أحد طرفي المعادلة فـي العدد 2, فمن ثم يجب علينا ضرب الطرف الآخر فـي 2. هنا من المهم جدا ضرب كل الحدود الموجودة في طرفي المعادلة فــي 2:
\(6=4+x2\)
\(6{\color{Blue} {\,\cdot\,2}}=(4+x2){\color{Blue} {\,\cdot\,2}}\)
\(6{\color{Blue} {\,\cdot\,2}}=4{\color{Blue} {\,\cdot\,2}}+x2{\color{Blue} {\,\cdot\,2}}\)
\(12=8+x4\)
أخيرا عملية القسمة، فإذا قسمنا أحد طرفي المعادلة علـى العدد 2, فمن ثم يجب علينا أيضا قسمة الطرف الآخر علـى 2. أيضا هنا من المهم جدا أن نتذكر قسمة كل الحدود في طرفي المعادلة علـى 2:
\(6=4+x2\)
\(\frac{6}{{\color{Blue} 2}}=\frac{4+x2}{{\color{Blue}{ 2}}}\)
\(3=2+x\)
المعادلات التي تحتوي على أقواس ومتغيرات في كلا الطرفين
الآن سنحل عدد من المعادلات باستخدام التوازن. وبشكل خاص سنتدرب على حَل المعادلات التي تحتوي على أقواس والمعادلات التي تحتوي على متغيرات في كلا الطرفين.
حِل المعادلة
\(2-x=4+x3\)
كلا طرفي هذه المعادلة يحتويان على المتغير x. لحل هذه المعادلة علينا أولا أن نجعل المتغير x في طرف واحد فقط.
في الطرف الأيمن لدينا الحد x3 وفي الطرف الأيسر لدينا الحد x. بطرح x من طرفي المعادلة سنتخلص من الحد x في الطرف الأيسر:
\(2-x=4+x3\)
\({\color{Red}{x\,-\,}}2-x={\color{Red} {x\,-\,}}4+x3\)
\(2-=4+x2\)
الآن لم يعد لدينا أي حد متغير في الطرف الأيسر. ولكن نريد أن يكون المتغير x بمفرده في الطرف الأيمن بدون الحد الثابت 4.
يمكننا التخلص من الــ 4 في الطرف الأيمن بطرح 4 من كلا الطرفين:
\(2-=4+x2\)
\({\color{Red}{ 4\,-\,}}2-={\color{Red} {4\,-\,}}4+x2\)
\(6-=x2\)
الآن أصبحنا قريبين جدا من حل المعادلة. ولكن نريد أن يكون لدينا الحد x فقط في الطرف الأيمن وليس \(x2\).
لذلك سنقسم طرفي المعادلة علـى 2:
\(6-=x2\)
\(\frac{6-}{{\color{Red} 2}}=\frac{x2}{{\color{Red} 2}}\)
\(3-=x\)
الآن حَلينا المعادلة: وجدنا قيمة المتغير x (أي \(3- = x\)) وهي التي تجعل طرفي المعادلة متساويين.
إذا أردت يمكنك اختبار هذا الحل عن طريق إدخال -3 مكان x في المعادلة الأصلية. هل هو الحل الصحيح؟
حِل المعادلة
\((1+x3)2-7=(x2+3)4\)
في هذه المعادلة ليس لدينا متغيرات فقط في الطرفين، لدينا أيضا أقواس نحتاج إلى التخلص منها.
لحل هذه المعادلة من الجيد البدء بتبسيط كل من طرفي المعادلة على حِدة.
لذلك نقوم بضرب الــ 4 فـي ما بداخل القوسين في الطرف الأيمن وضرب 2 فـي ما بداخل القوسين في الطرف الأيسر. في الطرف الأيسر سنحتفظ بالقوسين قليلا لأن لدينا علامة ناقص أمام العدد 2. ثم نقوم بتبسيط كل طرف على حدة بقدر الإمكان.
\((1+x3){\color{Red} 2}-7=(x2+3){\color{Blue} 4}\)
\((1{\color{Red} {\,\cdot\,2}}+x3{\color{Red}{ \,\cdot\,2} })-7={x2\color{Blue} {\,\cdot\,4}}+3{\color{Blue}{ \,\cdot\,4}} \)
\((2+x6)-7=x8+12\)
\(2-x6-7=x8+12\)
\(x6-5=x8+12\)
الآن لا يمكننا تبسيط الطرفين أكثر من ذلك. لذا سنبدأ بحل المعادلة بالتوازن.
نلاحظ أن لدينا الحد \(x8\) في الطرف الأيمن و \(x6-\) في الطرف الأيسر. لذلك سنحاول جمع جميع حدود \(x\) في الطرف الأيمن. وهذا يعني أننا سنتخلص من الحد \(x6-\) في الطرف الأيسر. بإضافة \(x6\) الى طرفي المعادلة سنتخلص من المتغير \(x\) في الطرف الأيسر:
\(x6-5=x8+12 \)
\({\color{Blue}{x6 \,+\,}}x6-5={\color{Blue} {x6\,+\,}}x8+12 \)
\(5=x14+12\)
الآن أصبح لدينا المتغير x في الطرف الأيمن فقط، ولكن نريد أيضا التخلص من الحد الثابت 12 في الطرف الأيمن. لذا سنطرح 12 من طرفي المعادلة:
\(5=x14+12\)
\({\color{Red} {12\,-\,}}5={\color{Red}{12\,-\,}}x14+12\)
\(7-=x14\)
أخيرا نقسم طرفي المعادلة علـى 14 ليكون لدينا المتغير x بمفرده في الطرف الأيمن:
\(7-=x14\)
\(\frac{7-}{{\color{Blue} {14}}}=\frac{x14}{{\color{Blue} {14}}}\)
\(0,5-=\frac{1}{2}-=x\)
إذن حَل المعادلة هو \(0,5 -= x\).
المعادلات التي بها متغيرات في المقام
أيضا يجب أن نكون قادرين على حل المعادلات التي يوجد بها متغير في المقام. ويمكن أن تكون من هذا النوع من المعادلات:
\(4=\frac{12}{1+x}\)
هنا لدينا التعبير \(1 + x\) في المقام، ولا يمكننا قسمة 12 على \(1 + x\) دون معرفة قيمة x. لكن يمكننا أيضا حَل هذه المعادلة باستخدام التوازن.
نبدأ بضرب طرفي المعادلة في التعبير \(1 + x\) الموجود في المقام:
\(4=\frac{12}{1+x}\)
\({\color{Blue} {(1+x)\,\cdot\,}}4=\frac{{\color{Blue}{ (1+x)\,\cdot\,}}12}{(1+x)}\)
في الطرف الأيمن لدينا العامل \(1 + x\) في كل من البسط والمقام، لذا يمكننا اختصار هذين العاملين مع بعضهما البعض. في الطرف الأيسر نقوم بضرب الــ 4 فـي ما بداخل القوسين.
\((1+x)\cdot 4=\frac{(1+x)\cdot 12}{(1+x)}\)
\(1\cdot 4+x\cdot 4=12\)
\(4+x4=12\)
الآن ليس من الصعب إنهاء حَل هذه المعادلة:
\(4+x4=12\)
\(x4=8 \)
\(x=2\)
إذن حَل المعادلة هو \(2 = x\)
فيديوهات الدرس (باللغة السويدية)
حل المعادلات التي تحتوي علي متغير في أحد الطرفين باستخدام طريقة التوازن.
حل المعادلات التي تحتوي علي متغير في الطرفين باستخدام طريقة التوازن وتحويل الحدود من طرف الى طرف آخر.