المخاريط

في القسم السابق تعلمنا الأسطوانات. قد نرى شكل الأسطوانات في الحياة اليومية كعلب الطعام المحفوظ على سبيل المثال.

في هذا القسم سندرس المخاريط وسنلاحظ أن لها خصائص معينة مشابهة لخصائص الأسطوانات. وحتى المخاريط قد نشاهدها في حياتنا اليومية كقُمع‏ الآيس كريم على سبيل المثال.

المخاريط

المخروط هو شكل هندسي له قاعدة مسطحة وغلاف سطحي مُشكّل من‏ نقطة خارج سطح القاعدة (هذه النقط تُسمي برأس المخروط). فإذا كان سطح القاعدة شكل دائري ونقطة رأس المخروط أعلى أو أسفل مركز الدائرة مباشرة فمن ثم نقول أنه مخروط دائري مُستقيم. عندما نقول شيء ما شكله شكل المخروط فهو مثل هذا النوع من المخاريط، كقُمع‏ الآيس كريم على سبيل المثال.

الشكل أدناه يوضح شكل المخروط الدائري المُستقيم:

كما نلاحظ في هذا الشكل فإن المخروط له قاعدة مسطحة في شكل دائرة نصف قطرها r. نلاحظ أيضا أن هذا المخروط له رأس عمودي يقع مباشرة فوق مركز القاعدة الدائرية وعلى بعد h منها.

حجم المخروط

لحساب حجم المخروط يمكننا التفكير في صيغة حجم الأسطوانة كما تعلمناها في القسم السابق.

حجم الأسطوانة هو

V_{الأسطوانة} \(h\cdot B=\)

بما أن المخروط له نفس القاعدة (B) والارتفاع (h) كما في الأسطوانة سيكون حجم المخروط ثُلث حجم الأسطوانة.

بالتالي صيغة حجم المخروط هي:

V_{المخروط} \(\frac{h\cdot B}{3}=\)

فإذا كانت قاعدة المخروط شكل دائرة نصف قطرها r فمن ثم يمكن حساب مساحة سطح القاعدة على النحو التالي:

\( {r}^{2}\pi=B\)

بتعويض هذا التعبير في صيغة حجم المخروط سنحصل على حجم المخروط الدائري المستقيم كما يلي:

V_{المخروط} \(\frac{h\cdot {r}^{2}\cdot \pi}{3}=\)

---

ما هو حجم المخروط؟

قُمع‏ آيس كريم على شكل مخروط دائري مستقيم. مملوء بأيس كريم الى حافة القُمع‏. فإذا كان نصف قطر القُمع‏ المخروطي 2,5 سم وارتفاعه 10 سم.

ما هو حجم الآيس كريم داخل المخروط؟ أجب بالميليلتر.

الحل:

يمكننا استخدام صيغة حجم المخروط الدائري المستقيم لحساب حجم الآيس كريم، لأنه مملوء تماما بالآيس كريم.

مساحة قاعدة المخروط B هي مساحة الفتحة الدائرية في أعلى القُمع. هذه القاعدة الدائرية نصف قطرها 2,5 سم، عليه فإن مساحة سطح القاعدة هي

\( {(2,5)}^{2}\cdot \pi={r}^{2}\cdot \pi=B\) = \(\pi 6,25\) سم\(^2\) \(20\approx\) سم\(^2\)

أيضا نعلم أن ارتفاع المخروط h يساوي 10 سم.

إذن الحجم الداخلي لقُمع الآيس كريم هو حجم الآيس كريم وهو كما يلي

V_{مخروط الآيس كريم} \(65\approx \frac{\pi 62,5}{3}=\frac{10\cdot \pi6,25}{3}=\frac{h\cdot B}{3}=\) سم\(^3\)

إذن باستخدام صيغة حجم المخروط وصلنا إلى أن حجم الأيس كريم داخل المخروط هو 65 سم\(^3\) تقريبا.

كم يبلغ هذا المقدار بالمليلتر؟

من القسم الخاص بوحدات الحجم نعلم أن 1 سنتيمتر مكعب يساوي 1 مليلتر. لذلك حجم الآيس كريم هو 65 مل تقريبا.

---

ما هو ارتفاع المخروط؟

مخروط حجمه 80 سم\(^3\) و مساحة قاعدته 20 سم\(^2\). كم يبلغ ارتفاعه؟

الحل:

أيضا في هذه المهمة يمكننا استخدام صيغة حجم المخروط. باستخدام هذه الصيغة يمكننا معرفة ارتفاع المخروط h.

حجم المخروط هو

\( \frac{h\cdot B}{3}=V\)

في هذه الصيغة نعلم قيمة كل من V و V. B هو حجم المخروط و هو 80 سم\(^3\). B هي مساحة سطح القاعدة وهي 20 سم\(^2\). الشيء الوحيد الذي لا نعرفه في هذه الصيغة هو قيمة ارتفاع المخروط.

بتعويض القيّم المعلومة في هذه الصيغة سنحصل على المعادلة التالية:

\( \frac{h\cdot 20}{3}=80\)

يمكن حل هذه المعادلة باستخدام طرقة التوازن. وكما تعلمنا سابقا حَل هذه المعادلة يعني إجاد قيمة الارتفاع h.

\(\frac{h\cdot 20}{3}=80\)

\(\frac{h\cdot 20}{3}\cdot {\color{Blue} 3}=80\cdot {\color{Blue}3} \)

\(h\cdot 20=240\)

\(\frac{h\cdot 20}{{\color{Red}{20}}}=\frac{240}{{\color{Red}{20}}}\)

\(12=h\) سم

إذن توصلنا إلى أن:

المخروط الذي حجمه 80 سم\(^3\) ومساحة سطح قاعدته 20 سم\(^2\) يجب أن يكون ارتفاعه 12 سم.

فيديو الدرس (باللغة السويدية)

كيفية حساب حجم المخروط.