حساب الجذور التربيعية
في القسم السابق بدأنا نتعرف على الجذور التربيعية. بما في ذلك خلصنا إلى أن الجذر التربيعي لبعض الأعداد يكون عدد صحيح، في حين أنه يمكننا حساب الجذور التربيعية الأخرى كقيّم تقريبية.
في هذا القسم سنتعلم بعض القواعد الحسابية المفيدة في تسهيل حساب الجذور التربيعية.
ضرب الجذور التربيعية
سندرس الآن القواعد الحسابية التي تنطبق عند ضرب الجذور التربيعية. سنبدأ بمثال بسيط:
\( \sqrt{4}\cdot\sqrt{16}\)
من قسم الجذور التربيعية السابق تعلمنا أنه يمكننا تبسيط حاصل هذا الضرب على النحو التالي:
\( 8=2\cdot4=\sqrt{4}\cdot\sqrt{16}\)
ولكن نعلم أيضا أنه يوجد عدد آخر جذره التربيعي مساوي للعدد 8, وهو
\(8=\sqrt{64}\)
ومن هذا يمكننا استنتاج أن:
\( \sqrt{64}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{16}\)
يمكننا أيضا كتابة العدد 64 كحاصل ضرب 16 و 4, أي
\( \sqrt{64}=\sqrt{4\cdot16}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{16}\)
وهذه المساواة لم تأتي بالصدفة. بل هي قاعدة حسابية عامة تنطبق عند ضرب الجذور التربيعية:
\( \sqrt{b\cdot a}=\sqrt{b}\cdot\sqrt{a}\)
حيث أن a و b عددين موجبين.
يمكننا استخدام هذه العلاقة لحساب الجذور التربيعية التي لا يمكننا تبسيطها إلا عن طريق القيّم التقريبية.
على سبيل المثال يمكننا حساب حاصل هذا الضرب:
\( \sqrt{8}\cdot\sqrt{2}\)
وبدلا من البدء بحساب القيم التقريبية للعامليّن، سنستخدم القاعدة الحسابية التي تعلمناها أعلاه. ومنها سنحصل على عملية حسابية بسيطة و سهلة, كما يمكننا حسابها في رأسنا:
\( 4=\sqrt{16}=\sqrt{8\cdot2}=\sqrt{8}\cdot\sqrt{2}\)
بَسّط التعبير بقدر الإمكان
a) \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{32}\)
b) \((\sqrt{7})^{2}\)
الحل:
a)
نستخدم قاعدة ضرب الجذور التربيعية:
\( 8=\sqrt{64}=\sqrt{2\cdot 32}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{32}\)
b)
أيضا في هذه الحالة يمكننا استخدام قاعدة ضرب الجذور التربيعية. لتكون أكثر وضوحا يمكننا إعادة كتابة التعبير أولا قبل استخدام القاعدة الحسابية:
\(7=\sqrt{49}=\sqrt{7\cdot7}=\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}=(\sqrt{7})^{2}\)
هنا قمنا بتبسيط التعبير عن طريق قاعدة ضرب الجذور التربيعية، ولكن بإمكاننا تجنب استخدام هذه القاعدة, فإذا تذكرنا تعريف الجذر التربيعي سنجد أن
\( 7=\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}\)
قسمة الجذور التربيعية
عند قسمة الجذور التربيعية توجد قاعدة حسابية مشابهة لقاعدة ضرب الجذور التربيعية.
قاعدة قسمة الجذور التربيعية هي
\( \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
حيث أن a و b عددين موجبين.
على سبيل المثال يمكننا الوصول إلى أن
\( 2=\frac{8}{4}=\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{16}}\)
وأن
\( 2=\sqrt{4}=\sqrt{\frac{64}{16}}\)
ما يعني أن
\( \sqrt{\frac{64}{16}}=\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{16}}\)
بنفس طريقة قاعدة ضرب الجذور التربيعية، هذه القاعدة الحسابية تعني أنه يمكننا في بعض الأحيان تبسيط خارج قسمة الجذور التربيعية بدون الاضطرار إلى حساب القيمة التقريبية.
مثال على هذا, خارج القسمة التالي
\( \frac{\sqrt{32}}{\sqrt{8}}\)
حيث يمكننا استخدام القاعدة الحسابية لتجنب عملية التقريب. لذا نقوم بتبسيط التعبير باستخدام قاعدة قسمة الجذور التربيعية، ومن ثم نحصل على التالي:
\( 2=\sqrt{4}=\sqrt{\frac{32}{8}}=\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{8}}\)
احسب خارج القسمة
\( \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}\)
لا يمكننا حساب البسط أو المقام الا باستخدام الآلة الحاسبة و تقريبهما، لذا سنستخدم بدلا من ذلك قاعدة قسمة الجذور التربيعية، والتي تعطينا ما يلي:
\( 5=\sqrt{25}=\sqrt{\frac{75}{3}}=\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}\)
احسب خارج القسمة
\( \frac{2}{\sqrt{2}}\)
في هذه الحالة الجذر التربيعي في المقام فقط. كيف نتصرف؟
حسنا! يمكننا كتابة البسط 2 كحاصل ضرب جذرين تربيعيين كما يلي:
\( \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2\)
بكتابة العدد 2 بهذه الطريقة يمكننا كتابة التعبير الأصلي على النحو التالي:
\( \frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)
بما أنه لدينا جذر تربيعي للعدد 2 مشترك في كل من البسط والمقام يمكننا تبسيط التعبير:
\( 1,41\approx\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}\cdot{\color{Red}{\sqrt{2}}}} {{\color{Red}{\sqrt{2}}}}\)
قمنا بحساب القيمة التقريبية لأقرب رقمين عشريين في الجذر التربيعي للعدد 2, ولكن إذا أردنا إعطاء إجابة دقيقة سنكتب فقط جذر 2
\( \sqrt{2}\)
كتابة إجابة دقيقة بهذه الطريقة لها فوائد عديدة. أحد هذه الفوائد هي أنه يمكننا استخدام الإجابة الدقيقة في عمليات حسابية أخرى, والتي تكون غالبا أفضل من التقريب. وثمة ميزة أخرى وهي أنه باستخدام هذا التعبير الدقيق يمكننا حساب قيّم تقريبية مع عدد خانات عشرية مختلفة، إذا أردنا على سبيل المثال معرفة القيمة التقريبية بأكثر من خانتين عشريتين.
فيديوهات الدرس (بالسويدية)
الجذور التربيعية ومساحة المُربع.
كيفية إجراء الحسابات مع الجذور التربيعية.