حساب الأُسُس
في القسم السابق كررنا مفهوم الأُسُس (القوى) وكيف يمكننا كتابة الأعداد في صورة قوى العدد عشرة وفي صورة الصيغة العلمية.
في هذا القسم سنتعلم قواعد الحساب الأساسية التي تنطبق عند ضرب أو قسمة الاُسُس. وسندرس ما معنى أن يكون لدينا أساس أسه صفر (عدد مرفوع للقوة صفر).
ضرب الأُسُس
تماما كما في حالة الأعداد الطبيعية قد نريد في بعض الأحيان ضرب أعداد مكتوبة في صورة أُسية. إذا كان الأُس له نفس الأساس، على سبيل المثال الأساس 10, عندئذ توجد قواعد حسابية معينة ويمكن أن تسهل إجراء الضرب.
مثلا قد نريد حساب حاصل الضرب هذا:
\( {10}^{2}\cdot{10}^{4}\)
هنالك طريقة لحساب حاصل الضرب هذا وهي تطوير أي إعادة كتابة قوى العدد عشرة، بحيث يكون لدينا حاصل الضرب التالي لحسابه:
\( (10\cdot10)\cdot(10\cdot10\cdot10\cdot10) ={10}^{2}\cdot{10}^{4}\)
بضرب هذه الست عشرات في بعضها (ضرب العامل 10) سنحصل على:
\( {10}^{6}=1\,000\,000=10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10 \)
إذن يمكننا كتابة حاصل ضرب العددين الأُسييّن في التعبير الأصلي كعدد أُسي واحد:
\( {10}^{6}={10}^{2}\cdot{10}^{4} \)
هناك طريقة أسرع لحساب حاصل الضرب هذا وهي كتابة الأساس 10 كما هو ويكون الأُس الجديد هو مجموع الأُسيّن 4 و 2 على النحو التالي:
\( {10}^{6}={10}^{2+4}={10}^{2}\cdot{10}^{4} \)
وهذه قاعدة حسابية عامة تنطبق عندما نضرب أُسيّن (قوتين) لهما نفس الأساس: نجمع الأُسُس ولا يتغير الأساس.
ويمكننا اجراء نفس العملية إذا قمنا على سبيل المثال بضرب أُسيّن لهما الأساس 2:
\( {2}^{10}={2}^{6+4}={2}^{6}\cdot{2}^{4} \)
بصورة عامة يمكننا كتابة هذه القاعدة الحسابية على النحو التالي:
\( {a}^{c+b}={a}^{c}\cdot{a}^{b} \)
حيث أن a هو الأساس المشترك للعامليّن المضروبيّن, b و c هما الأُسين.
اكتب حاصل الضرب في صورة أُسية واحدة
a) \({3}^{2}\cdot{3}^{3} \)
b) \(10\cdot{10}^{5}\cdot{10}^{2}\)
الحل:
a)
بما أن العاملين لهما نفس الأساس, 3, يمكننا استخدام قاعدة ضرب الأُسُس.
\( {3}^{5}={3}^{2+3}={3}^{2}\cdot{3}^{3} \)
b)
في هذه الحالة لدينا ثلاثة عوامل، ولكن لا يزال يمكننا استخدام قاعدة ضرب الأُسُس، إذا قمنا بحساب حاصل الضرب على خطوتين. تذكر أيضا أن 10 هي نفسها مثل \({10}^{1}\).
\( 10\cdot{10}^{5}\cdot{10}^{2}= \)
\(= 10\cdot{10}^{5+2}= \)
\(=10\cdot{10}^{7}= \)
\(={10}^{1+7}= \)
\(={10}^{8} \)
قسمة الأُسُس
حتى في حالة القسمة هناك قواعد حسابية يمكن أن تسهل إجراء العمليات الحسابية عندما يكون الأُسُس لها نفس الأساس.
سنبدأ بالنظر إلى مثال لخارج قسمة بحيث البسط والمقام عبارة عن أُسيّن لهما نفس الأساس 10:
\( \frac{{10}^{6}}{{10}^{3}} \)
بنفس طريقة ضرب الأُسُس يمكننا حساب هذا التعبير بكتابة الأُسُس كحاصل ضرب عوامل العدد 10 كما يلي:
\(\frac{10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10}{10\cdot10\cdot10}=\frac{{10}^{6}}{{10}^{3}}\)
الآن كيف يجب أن نواصل؟ حسنا! بما أن العامل 10 يوجد ثلاث مرات في حاصل ضرب المقام وأكثر من ثلاث مرات في حاصل ضرب البسط، يمكننا اختصار ثلاث عشرات من البسط مع الثلاث عشرات في المقام. وهذا يعطينا النتيجة التالية:
\( =\frac{10\cdot10\cdot10\cdot{\color{Red} \not}{10}\cdot{\color{Red} \not}{10}\cdot{\color{Red} \not}{10}}{{\color{Red} \not}{10}\cdot{\color{Red} \not}{10}\cdot{\color{Red} \not}{10}}\)
\( =\frac{10\cdot10\cdot10}{1}=\)
\({10}^{3}=1\,000=\)
إذن سيكون خارج القسمة الأصلي في صورة قوى العدد عشرة التالية:
\( {10}^{3}=\frac{{10}^{6}}{{10}^{3}}\)
هناك طريقة أسرع لحساب خارج القسمة هذا وهي كتابة الأساس 10 كما هو ويكون الأُس الجديد هو الفرق بين 6 و 3 كما يلي:
\( {10}^{3}={10}^{3-6}=\frac{{10}^{6}}{{10}^{3}}\)
وهذه قاعدة حسابية عامة تنطبق عندما نقسم أُسيّن لهما نفس الأساس: الأُس يساوي الفرق بين أُسي البسط والمقام أما الأساس لا يتغير.
إذن يمكننا الحساب بنفس الطريقة إذا قمنا على سبيل المثال بضرب أُسيّن أساسهما العدد 2:
\( {2}^{2}={2}^{3-5}=\frac{{2}^{5}}{{2}^{3}} \)
بصورة عامة يمكننا كتابة هذه القاعدة الحسابية كما يلي:
\( {a}^{c-b}=\frac{{a}^{b}}{{a}^{c}} \)
حيث أن a هو الأساس المشترك للعامليّن المضروبيّن، b و c هما الأُسين.
اكتب خارج القسمة في صورة أُسية واحدة
a) \(\frac{{5}^{9}}{{5}^{6}}\)
b) \(\frac{{10}^{2}\cdot{10}^{3}}{{10}^{4}}\)
الحل:
a)
نلاحظ أن البسط والمقام عبارة عن أُسيّن لهما نفس الأساس. إذن نستخدم قاعدة قسمة الأُسُس:
\( {5}^{3}={5}^{6-9}=\frac{{5}^{9}}{{5}^{6}} \)
إذا قمنا بحساب قيمة هذ الأُس سنجد أن التعبير مساو لـ 125.
b)
في هذه المهمة لدينا تعبير فيه عملية ضرب عاملين أُسييّن في البسط وعامل أُسي واحد في المقام. يمكننا تبسيط التعبير أولا باستخدام قاعدة ضرب الأُسُس في البسط, ثم نقسم الأُس الناتج مع أُس المقام.
نبدأ بضرب الأُسُس في البسط:
\( \frac{{10}^{5}}{{10}^{4}}=\frac{{10}^{2+3}}{{10}^{4}}=\frac{{10}^{2}\cdot{10}^{3}}{{10}^{4}} \)
الآن يمكننا قسمة الأُسُس باستخدام قاعدة قسمة الأُسُس:
\( {10}^{1}={10}^{4-5}=\frac{{10}^{5}}{{10}^{4}}\)
بعد التبسيط أصبح التعبير يساوي 10.
الأُس صفر
بعد أن تعلمنا قاعدة قسمة الأُسُس التي لها نفس الأساس، سنواصل الى الأمام وندرس ما معنى أن يكون لدينا عدد له الأس صفر.
على سبيل المثال نريد معرفة قيمة الأُس أدناه:
\( {10}^{0}\)
من قاعدة قسمة الأُسُس نعرف كيف يمكن حساب أنواع خارج القسمة التالي
\( \frac{{10}^{2}}{{10}^{2}} \)
سيكون خارج القسمة هذا مساويا لأُس له الأساس 10, حيث أن الأُس هو الفرق بين أُسي البسط والمقام، كما يلي:
\( {10}^{0}={10}^{2-2}=\frac{{10}^{2}}{{10}^{2}} \)
ولكن نعرف أيضا أنه يمكننا كتابة الأُسُس في البسط والمقام كحاصل ضرب العوامل 10, ثم نختصرها:
\( 1=\frac{1}{1}=\frac{{\color{Red} \not}{10}\cdot{\color{Red} \not}{10}}{{\color{Red} \not}{10}\cdot{\color{Red} \not}{10}}=\frac{10\cdot10}{10\cdot10}=\frac{{10}^{2}}{{10}^{2}} \)
من هذا المنطلق نستطيع أن نستنتج أن
\( 1={10}^{0}\)
وبالمثل نخلص إلى أن الأُسُس التي لها أساسات غير 10 ولها الأُس 0 تساوي 1. وبصورة عامة يمكن أن نكتب
\( 1={a}^{0} \)
حيث أن a هو أساس القوة.
بَسّـط التعبير
\( \frac{{4}^{6}}{{4}^{2}\cdot{4}^{4}}\)
الحل:
نبدأ بتبسيط المقام باستخدام قاعدة ضرب الأُسُس:
\( \frac{{4}^{6}}{{4}^{6}}=\frac{{4}^{6}}{{4}^{2+4}}=\frac{{4}^{6}}{{4}^{2}\cdot{4}^{4}}\)
ثم نبسّط التعبير باستخدام قاعدة قسمة الأُسُس.
\( 1={4}^{0}={4}^{6-6}=\frac{{4}^{6}}{{4}^{6}}\)
بعد إجراء القسمة نلاحظ أننا حصلنا على أساس له الأس صفر، ويجب أن يساوي 1. بالتالي التعبير بأكمله يساوي 1.
فيديوهات الدرس (بالسويدية)
الأُسُس (القوى) ذات الأساس 10.
عملية الضرب مع الأعداد ذات الأساس 10.
عملية القسمة مع الأعداد ذات الأساس 10.
تبسيط التعبيرات التي تحتوي على صور أُسية.