الأعداد الصغيرة كقوى

تعلمنا سابقا كتابة عمليات الضرب المتكررة في صورة أُسية وتوصلنا الى بعض قواعد الأُسُس.

في هذا القسم سندرس القوى السالبة وكيف يمكننا استخدام مثل هذه القوى لكتابة الأعداد الصغيرة.

الأُسُس (القوى) السالبة

عندما تعلمنا كيفية قسمة الأُسُس التي لها أساس متساوي، توصلنا إلى القاعدة الحسابية التالية:

\( {a}^{c-b}=\frac{{a}^{b}}{{a}^{c}}\)

على سبيل المثال يمكننا اجراء الحساب التالي:

\( 10={10}^{1}={10}^{3-4}=\frac{{10}^{4}}{{10}^{3}} \)

ولكن ماذا سيحدث إذا قمنا بتغيير مواقع قوى البسط والمقام في هذا المثال؟ عندها سنحصل على التعبير التالي و يمكننا تبسيطه باستخدام قاعدة قسمة القوى:

\( {10}^{1-}={10}^{4-3}=\frac{{10}^{3}}{{10}^{4}}\)

كيف يمكن تفسير أساس له قوة سالبة -1؟

لندرس خارج القسمة بكتابة جميع العوامل الـ 10 ثم نقوم بتبسيطها :

\( 0,1=\frac{1}{10}=\frac{ {\color{Red}{10}} \cdot {\color{Red}{10}} \cdot {\color{Red}{10}}}{10\cdot {\color{Red}{10}} \cdot {\color{Red}{10}} \cdot {\color{Red}{10}}} =\frac{10\cdot10\cdot10}{10\cdot10\cdot10\cdot10}=\frac{{10}^{3}}{{10}^{4}} \)

وهذا يعني أن لدينا ثلاث طرق مختلفة لكتابة نفس الشيء:

\( 0,1=\frac{1}{10}={10}^{1-}\)

بنفس الطريقة يمكننا الوصول الى أن 10 مرفوعة للقوة -2 يمكن كتابتها بالطريقة التالية:

\( 0,01=\frac{1}{{10}^{2}}={10}^{2-}\)

بصورة عامة يمكن كتابة العلاقة التالية:

\( \frac{1}{{10}^{a}}={10}^{a-}\)

على سبيل المثال يمكن كتابة

\( 0,000001=\frac{1}{{10}^{6}}={10}^{6-}\)

وهو جزء من مليون.


بَسّـط‏ التعبير وأجب بدون قوة العدد عشرة

\( \frac{{10}^{2}}{{10}^{5}}\)

نجري التبسيط بقاعدة قسمة القوى.

\( {10}^{3-}={10}^{5-2}=\frac{{10}^{2}}{{10}^{5}}\)

ونعيد كتابة هذه القوة في صورة كسر عشري:

\( 0,001=\frac{1}{1\,000}=\frac{1}{{10}^{3}}={10}^{3-}\)

إذن وجد أن التعبير يساوي جزء من ألف.


الأعداد الصغيرة في صيغة علمية

كتابة الأعداد العشرية باستخدام قوى العدد عشرة مفيدة عندما نريد حساب الأعداد الصغيرة، على سبيل المثال كتلة ذرة الهيدروجين.

يمكننا كتابة اعداد عشرية صغيرة في شكل صيغة علمية، إذا جعلنا الأُس عدد سالب.

على سبيل المثال يمكننا كتابة العدد 0,0054 في شكل صيغة علمية كما يلي:

\(=0,001\cdot5,4=0,0054 \)

\(=\frac{1}{1\,000}\cdot5,4=\)

\(=\frac{1}{{10}^{3}}\cdot5,4=\)

\({10}^{3-}\cdot5,4=\)

الصورة العامة للصيغة العلمية تتكون من قوة العدد عشرة وفي هذا المثال هي \({10}^{3-}\), وعامل أمام قوة العدد 10 وفي هذا المثال هو 5,4 وهو أكبر من 1 وأقل من 10.


أكتب العدد 0,00032 في شكل صيغة علمية

لكتابة هذا العدد في شكل صيغة علمية يمكننا كتابته كحاصل ضرب فيه عدد عشري مع قوة مناسبة للعدد 10.

\(=0,0001\cdot3,2=0,00032 \)

\(=\frac{1}{10\,000}\cdot3,2= \)

\(=\frac{1}{{10}^{4}}\cdot3,2=\)

\({10}^{4-}\cdot3,2=\)


أكتب العدد في صورة كسر عشري

\( {10}^{2-}\cdot4,7\)

نبدأ بإعادة كتابة قوة العدد عشرة في شكل كسر عشري. ومن ثم سيكون من السهل حساب حاصل الضرب.

\(={10}^{2-}\cdot4,7\)

\(=\frac{1}{{10}^{2}}\cdot4,7= \)

\(=\frac{1}{100}\cdot4,7= \)

\(0,047=0,01\cdot4,7=\)

حساب القوى السالبة

الآن بعد أن تعلمنا كيف يمكننا كتابة الأعداد الصغيرة باستخدام القوى السالبة, نريد معرفة ماذا يحدث عندما نجري عملية حسابية تحتوي على مثل هذه الأعداد. للضرب والقسمة تنطبق نفس القواعد الحسابية التي توصلنا إليها عندما تكون القوى موجبة.

سنحسب الآن بعض الأمثلة لنرى كيف يمكن إجراء ذلك.


بَسّـط‏ التعبير

a)  \({10}^{2-}\cdot{10}^{7}\)

b)  \({6}^{5}\cdot{6}^{3-}\)

الحل:

a)

نستخدم قاعدة ضرب القوى. لا تنس أن قوة العامل الثاني سالبة.

\( 100\,000={10}^{5}={10}^{2-7}=10^{(2-)+7}={10}^{2-}\cdot{10}^{7}\)

b)

أيضا في هذه الحالة سنستخدم قاعدة ضرب القوى.

\( 36={6}^{2}={6}^{5+3-}={6}^{5}\cdot{6}^{3-}\)

بَسّـط التعبير:

a)  \(\frac{{10}^{{}^{2}}}{{10}^{{}^{1-}}} \)

b)  \(\frac{{2}^{{}^{2-}}}{{2}^{{}^{5-}}}\)

الحل:

a)

كالمعتاد نستخدم قاعدة قسمة القوى. علينا أن نكون حرصين و نتذكر أن القوة في المقام عدد سالب.

\( 1\,000={10}^{3}={10}^{1+2}={10}^{(1-)-2}=\frac{{10}^{{}^{2}}}{{10}^{{}^{1-}}}\)

b)

أيضا في هذه الحالة نستخدم قاعدة قسمة القوى. هنا كلا قوتي البسط والمقام سالبة، ولكن نحسبها كالمعتاد.

\(8={2}^{3}={2}^{5+2-}={2}^{(5-)2-}=\frac{{2}^{{}^{2-}}}{{2}^{{}^{5-}}}\)


اضرب العددين التالييّن المكتوبيّن في شكل صيغة علمية

\( {10}^{3}\cdot3,8\)

و

\( {10}^{2-}\cdot2\)

الحل:

نكتب حاصل الضرب في تعبير واحد، ثم نعيد ترتيب العوامل.

\( ={10}^{2-}\cdot2\cdot{10}^{3}\cdot3,8\)

\({10}^{2-}\cdot{10}^{3}\cdot2\cdot3,8=\)

الآن يمكننا استخدام قاعدة ضرب القوى لتبسيط قوتي العدد عشرة إلى قوة واحدة للعدد عشرة:

\( {10}^{2-}\cdot{10}^{3}\cdot2\cdot3,8=\)

\(={10}^{(2-)+3}\cdot2\cdot3,8= \)

\(={10}^{2-3}\cdot2\cdot3,8=\)

\(={10}\cdot2\cdot3,8=\)

\(76={10}\cdot7,6=\)


أقسم العددين التاليين المكتوبين في شكل صورة علمية

\( {10}^{3}\cdot3,8\)

و

\( {10}^{2-}\cdot2\)

الحل:

نكتب خارج القسمة في تعبير واحد:

\( \frac{{10}^{3}\cdot3,8}{{10}^{2-}\cdot2}\)

في الصف الثامن درسنا كيف نتعامل مع ضرب الكسور الاعتيادية. وتوصلنا إلى القاعدة التالية:

\( \frac{c\cdot a}{d\cdot b}=\frac{c}{d}\cdot\frac{a}{b}\)

الآن يمكننا استخدام الصورة العكسية لهذه القاعدة عن طريق فصل هذا الكسر الى كسرين أي يصبح لدينا قسمتين منفصلتين بدلا من خارج قسمة واحد، لنرى ذلك:

\( \frac{{10}^{3}}{{10}^{2-}}\cdot\frac{3,8}{2}=\frac{{10}^{3}\cdot3,8}{{10}^{-2}\cdot2}\)

بعد الوصول الى هذه الخطوة يمكننا تبسيط هاتين القسمتين كل على حدة.

\( ={\color{Red}{ \frac{{10}^{3}}{{10}^{2-}}}}\cdot{\color{Blue} {\frac{3,8}{2}}}\)

\(={\color{Red}{ {10}^{(2-)-3}}}\cdot{\color{Blue}{ 1,9}}=\)

\(={\color{Red} {{10}^{2+3}}}\cdot{\color{Blue}{ 1,9}}=\)

\(190\,000={\color{Red}{ {10}^{5}}}\cdot{\color{Blue}{ 1,9}}=\)


فيديوهات الدرس (بالسويدية)

الأعداد الصغيرة و الأعداد ذات الأساس 10.

عملية القسمة مع الأعداد الصغيرة والأعداد ذات الأساس 10.

هل لديكم تعليقات على المواد الموجودة في هذه الصفحة؟ راسلنا علي: matteboken.arabiska@mattecentrum.se
قراءة الصفحة بلغات أخرى