الفوائد المالية
في الأقسام السابقة تعلمنا عملية حساب التغيرات النسبية كما رأينا كيف يمكن حساب القيم الجديدة الناتجة من التغيّرات النسبية المتكررة. في هذا القسم سنتعرف أكثر على أحد تطبيقات التغيّرات النسبية المتكررة التي يقابلها معظم الناس في الحياة العملية وهي الفوائد المالية.
عملية إدخار الأموال لفترة زمنية طويلة أو قصيرة يرجع لأسباب مختلفة: إما لأننا نريد ادخار الأموال للقيام برحلة أو لشراء منزل على سبيل المثال، أو ربما لفترة التقاعد بحيث يكون لدينا مزيد من الأموال للعيش بها عندما نتقاعد.
هنالك طرق مختلفة لادخار الأموال. يمكننا على سبيل المثال وضعه تحت الفراش أو ادخاره في خزنة نقود. إذا أردنا أدخار الأموال لفترة زمنية طويلة قد يكون من الأفضل وضع الأموال في حساب ادخار في أحد البنوك او استثمارها بشكل آخر. عادة ما يكون للبنوك رغبة في أن يدخر الناس أموالهم لديها وذلك لكي يتمكن البنك بدوره من إقراض المال للأخرين، وغالبا ما تعرض البنوك فوائد مالية مقابل الأموال المودعة لديها. الفوائد المالية تعني حصولك على أموال من البنك مقابل إيداع أموالك لديه.
عادة ما يتم تحويل الفوائد المكتسبة بالنسبة المئوية وفي نفس حساب البنك، بحيث يحصل صاحب الإدخار سنويا على فوائد بنسبة معينة من رأس المال الذي أودعه في حسابه وتُسمى هذه النسبة المئوية بنسبة الفوائد المالية.
بنك Mattecentrum
على سبيل المثال إذا أودع تشارلي \(50\,000\) كرونة في حساب في بنك Mattecentrum, بحيث يحصل على فوائد بنسبة %2 سنويا، بالتالي ستزيد الأموال في الحساب وفقا للجدول أدناه. السنة 0 هي السنة التي وضع فيها تشارلي أمواله في حساب الإدخار والسنة 1 تعني أن الأموال أصبحت في حساب الإدخار لمدة سنة كاملة وهي السنة الأولى لبداية الحصول على الفوائد:
| السنة | رأس المال (بالكرونة) | الفوائد (بالكرونة) | المجموع (بالكرونة) |
| 0 | \(50\,000\) | \(50\,000\) | |
| 1 | \(50\,000\) | \(50\,000 · 0,02 = 1\,000\) | \(51\,000\) |
| 2 | \(51\,000\) | \(51\,000 · 0,02 = 1\,020\) | \(52\,020\) |
| 3 | \(52\,020\) | \(52\,020 · 0,02 = 1\,040,40\) | \(53\,060,40\) |
في المثال أعلاه يمكن وصف رأس المال في الحساب باستخدام دالة أسية:
$$p = s \cdot k^{\,x}$$
الأموال بعد مرور عدد من السنوات \(\,\,\,\,\,\,p \equiv\)
رأس المال الأولي \(\,\,\,\,\,\,s \equiv\)
عامل التغيّر \(\,\,\,\,\,\,k \equiv\)
عدد السنوات \(\,\,\,\,\,\,x \equiv\)
فكر تشارلي في ترك الأموال في الحساب لمدة 10 سنوات بدون إستخدام، بحيث تُضاف الفوائد السنوية الى رأس المال في نفس الحساب بدون إجراء أي إيداع أو سحب. الآن يمكنه معرفة المبلغ المتوقع وجوده في الحساب بعد 10 سنوات:
$$50\ 000\cdot 1,02^{\,10}=60\ 949,72 \,kr$$
مقدار أموال تشارلي وكيفية تزايدها في الحساب هي عبارة عن متتالية هندسية حيث أن النسبة بين رأس مال أي سنة ورأس مال السنة السابقة لها هو عبارة عن عامل التغير k وقيمته ثابتة. في هذا المثال k =1,02 (أي أن معدل نسبة فوائد الحساب المصرفي هو %2) و a1 هو رأس المال الأولي وهو \(50\,000\) وهي عبارة عن الأموال التي وضعها تشارلي في حساب الادخار عند البداية. n هي عبارة عن عدد السنوات التي مرت على وجود الأموال بالحساب وفي هذه الحالة سنحسب معهم السنة 0.
ومن ثم اختار تشارلي إيداع ماله في حساب الادخار كدفعة واحدة (أي قام بإيداعه مرة واحدة). هنالك طريقة آخرى للادخار وهي إيداع مبلغ مالي أقل على سبيل المثال كل شهر أو كل سنة.
قريبا سيبلغ توماس 40 عاما من العمر وفكر في بدء الادخار لفترة التقاعد.
فكر توماس في إدخار \(1\,000\) كرونة سنويا ووجد إمكانية فتح حساب بصندوق المعاشات وكان معدل الفوائد بنسبة %10. هذا يعني أنه إذا وضع في بداية السنة \(1\,000\) كرونة في الحساب، بالتالي سيحصل في نهاية كل سنة على فوائد بنسبة %10 من الأموال الموجودة في الحساب. حيث أن توماس يخطط لعدم استخدام هذه الأموال حتى يصل إلى عمر 65 سنة، هكذا بمرور الزمن ستنموء الأموال بحيث كل عام تُضاف فوائد العام الماضي. مثل هذه الفوائد تُسمى بالفوائد المركبة.
إذا أطلقنا على السنة التي سيبلغ فيها عمره 40 سنة بالسنة 0 (لأنها هي السنة التي سيبدأ فيها توماس بإيداع المال في الحساب) سنحصل على الجدول التالي:
| السنة | رأس المال في الحساب (بالكرونة) |
| 0 | \(1\,000\) |
| 1 | \(1\,000 \cdot 1,10^{1}+1\,000 = 2\,100\) |
| 2 | \(1\,000 \cdot 1,10^{2}+1\,000 \cdot 1,10^{1}+1\,000 = 3\,310\) |
| 3 | \(1\,000 \cdot 1,10^{3}+1\,000 \cdot 1,10^{2}+1\,000 \cdot 1,10^{1}+1\,000=4\,641\) |
| 4 |
\(1\,000 \cdot 1,10^{4}+1\,000 \cdot 1,10^{3}+1\,000 \cdot 1,10^{2}+\) \(+1\,000 \cdot 1,10^{1}+1\,000=6\,105,10\) |
| ... | … |
في مثال إدخار تشارلي أعلاه إستطعنا وصف رأس مالها في الحساب بإستخدام مفهوم المتتالية الهندسية. أما في حالة حساب مدخرات توماس الأمر مختلف لأن الإيداعات متواصلة سنة بعد سنة.
وهذا يعني أنه بدلا من ذلك يمكننا وصف رأس مال توماس بالمجموع الهندسي، صيغة المجموع الهندسي قابلناها في قسم المتتالية الهندسية:
$$S_{n}=\frac{a_{1}(k^{n}-1)}{k-1}$$
حيث أن \(S_n\) هو رأس المال بعد الإيداع رقم \(n\), \(a_1\) هو المبلغ المالي الذي سيضعه توماس في حسابه كل سنة وk هو عامل التغيّر (في هذه الحالة k يساوي 1,10 لأن معدل الفوائد كان بنسبة %10).
الفترة حتى عيد ميلاد توماس الخامس والستين هي 25 سنة \((65 - 40 = 25)\)، بوضع هذه المُعطيات في الصيغة سنحصل على:
$$S_{25}=\frac{1000(1,1^{25}-1)}{1,1-1}\approx 98\,300\ kr$$
الخلاصة: إذا أودع توماس \(1\,000\) كرونة بتاريخ منتظم في كل سنة في حسابه لمدة 25 سنة بحيث يحصل على فوائد سنوية بنسبة %10, في هذه الحالة سيكون لديه حوالي \(98\,300\) كرونة بعد مرور 25 سنة.
فيديوهات الدرس (باللغة السويدية)
في هذا الفيديو سنمر على مفهوم الفوائد ونسبها وكيفية إجراء الحسابات.
في هذا الفيديو سنحسب مجموع الأموال وفوائدها بإستخدام المجموع الهندسي.