ضرب متعددات الحدود
المعادلة هي عبارة عن تعبير رياضي يحتوي على طرف أيسر (VL) وطرف أيمن (HL). المعادلة تعني "المساواة\التشابه" وتصف تعبيرين رياضيين بينهما علامة يساوي وكل منهما يساوي الآخر. أي أن الطرف الأيسر هو نفس الطرف الأيمن وإنما تمت صياغته ووصفه بطريقة مختلفة. في مرحلة الأساس قمنا بإجراء عمليات حسابية مع معادلات مكوناتها عبارة عن أعداد.
$$VL=HL$$
$$6+4=10$$
VL إختصار للكلمة Vänsterled وتعني الطرف الأيسر!
HL إختصار للكلمة Högerled وتعني الطرف الأيمن!
في المراحل المتقدمة من مرحلة الأساس تعلمنا حساب المعادلات التي تحتوي بعض مكوناتها على أعداد مجهولة. يتم وصف العدد المجهول بحرف ويُعرف بالمتغير (كــ \(x\) مثلا).
$$3x+8=14$$
في المرحلة الثانوية قمنا بحساب المعادلات التي تحتوي مكوناتها على أعداد ومتغيرات ودوال. المتغير هو عبارة عن عدد مجهول يمكن ان تتنوع قيمته. أي أنه يمكن إدخال قيّم مختلفة للمتغير والحصول على نتائج مختلفة.
في المثال أدناه \(x\) عبارة عن عدد ثابت مجهول وليس متغير. هناك قيمة واحد فقط لـ \(x\) في هذا التعبير بحيث يكون الطرف الأيسر مساويا للطرف الأيمن، VL=HL:
$$3x+8=14$$
أما إذا نظرنا إلى المثال التالي فإن \(x\) في هذه الحالة عبارة عن متغير، وذلك لأن الطرف الأيمن هو أيضا مجهول وغير مُعّرف كتعبير ثابت. قيمة الطرف الأيمن (HL) تعتمد على قيمة المتغير \(x\) في الطرف الأيسر (VL). ولذلك هناك عدد لانهائي من الحلول الممكنة لهذه المعادلة.
$$3x+8=y$$
يمكن أيضا ملاحظة أن \(y\) في المثال السابق عبارة عن متغير. \(x\) و \(y\) هما عدديّن مجهوليّن تختلف قيمة كل منهما بناء على قيمة الآخر.
أي معادلة تحتوي على متغيرات يمكن وصفها بالدالة.
$$f(x)=3x+8$$
الطرف الأيسر في التعبير أعلاه \(f (x)\) يُقرأ "\(f\) دالة في \(x\)". ما نريد تأكيده في هذا النوع من تعبيرات الدوال المذكور أعلاه هو أن \(x\) هو المتغير الرئيسي. عادة ما تكون القيمة المتاحة هي قيمة \(x\) وهي التي يمكننا إدخالها في التعبير \(f (x)\) وهو ما يعادل \(y\), ونحصل على \(y\) كنتيجة لقيمة معينة لـ \(x\). هنا \(x\) ليس ثابت مجهول وانما هو عبارة عن متغير في هذه الحالة.
قبل الإستمرار مع المعادلات والدوال سنكرر أولا بعض القواعد المهمة التي يمكن استخدامها في تبسيط المعادلات.
قانون التوزيع:
$$a(b+c)=ab+ac$$
ضرب الأقواس:
$$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$$
قاعدة التربيع الأولى:
$$(a+b)(a+b)=(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$$
قاعدة التربيع الثانية:
$$(a-b)(a-b)=(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$$
قاعدة ضرب المُترافقيّن:
$$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$$
إذا أردت، يمكنك الرجوع لما درسناه سابقا في الكورس رياضيات 2 ومراجعة كل من ضرب متعددات الحدود, قواعد التربيع و قاعدة ضرب المُترافقيّن.
فيما يلي لدينا مثال سنستخدم فيه بعض هذه القواعد لتبسيط التعبير وحَل المعادلة الرياضية. وفي هذا المثال سنُطبق كل من قاعدة التوزيع، قاعدة التربيع الثانية وقاعدة ضرب المُترافقيّن.
بسّط التعبير وحِل المعادلة
$$(2x-2)^{2}-(2x-1)^{2}-3(x-4)(x+4)+3x^{2}=3$$
$$(4x^{2}-2\cdot 2x\cdot 2+ 4)-(4x^{2}-2\cdot 2x\cdot 1+1^{2})$$
$$-3(x^{2}-16)+3x^{2}=3$$
$$ 4x^{2}-8x+4-4x^{2}+4x-1-3x^{2}+48+3x^{2}=3$$
$$51-4x=3$$
$$4x=48$$
$$x=\frac{48}{4}$$
$$x=12$$
وأخيرا سنحل مثال آخر بإستخدام قاعدة ضرب الأقواس
بسّط التعبير التالي:
$$(3x^{2}+2)\cdot(2x-1)$$
يتكون التعبير أعلاه من حاصل ضرب تعبيرين. يمكن تبسيط هذا التعبير بضرب العوامل في بعضها البعض باستخدام قاعدة ضرب الأقواس:
$$(3x^{2}+2)\cdot(2x-1)=$$
$$=3x^{2}\cdot2x-3x^{2}\cdot1+2\cdot2x-2\cdot1=$$
$$= 6x^{3}-3x^{2}+4x-2$$
كما نلاحظ أن حاصل ضرب متعددتي حدود في بعضهما البعض هو عبارة عن متعددة حدود أيضا.
فيديوهات الدرس (باللغة السويدية)
هنا سنشرح كيفية ضرب متعددات الحدود.
إشتقاق قواعد التربيع.
إشتقاق قاعدة ضرب المُترافقيّن.
مثال على حل المعادلات باستخدام قاعدة ضرب المُترافقيّن.
إستخدام الآلة الحاسبة
هنا تم استخدام الآلة الحاسبة البيانية Casio FX-CG20.
شاهد نفس التمرين على الآلة الحاسبة البيانية Casio FX-9750GII.
الآلات الحاسبة البيانية من الماركات الأخرى لديها نفس الوظائف تقريباً.