نهاية الدالة
في قسم الدوال النسبية السابق وصلنا إلى أن كل دالة لها مجال، ومجال الدالة هو قيّم المتغير المُستقل المسموح بها في الدالة نفسها (القيّم التي لا تعطي صفر في المقام).
إذا نظرنا إلى الدالة التالية
$$f(x)=\frac{1}{x^{2}}$$
سنلاحظ مباشرة أن المتغير \(x\) لا يمكن أن تكون قيمته صفر لأن المقام (\(x^2\)) سيصبح صفرا. ولكن ماذا سيحدث لقيمة الدالة عندما نقترب من \(x=0\)؟ من الطُرق الجيدة لدراسة مثل هذه الحالات هي رسم مخطط بياني للدالة. أيضا يمكننا إنشاء جدول لدراسة قيّم الدالة التي سنحصل عليها عندما تكون قيّم المتغير المُستقل قريبة من المنطقة الغير مُعرفة \(x=0\).
| \(f(x)\) | \(x\) |
| \(1\) | \(-1\) |
| \(100\) |
\(-0,1\) |
| \(10\,000\) | \(-0,01\) |
| \(1\) | \(1\) |
| \(100\) | \(0,1\) |
| \(10\,000\) | \(0,01\) |
عندما تقترب قيمة المتغير المُستقل من الصفر سنلاحظ أن قيمة الدالة المقابلة ستصبح أكبر. عند قيّم \(x\) الأصغر فالأصغر (سالبة أو موجبة) ستزداد قيمة الدالة ولكن سنلاحظ أنه لا يوجد حد أعلى لقيمة الدالة التي سنحصل عليها. وفي مثل هذه الحالات نقول أن قيمة الدالة تسير في اتجاه ما لا نهاية \((\infty)\) لأن قيمة الدالة ستصبح أكبر فأكبر بلا نهاية (لا يوجد حد لكبر القيمة).
ما درسناه هنا هو عبارة عن نهاية قيمة الدالة المُقابلة لقيمة محددة من قيّم المتغير \(x\). يمكن التعبير عن ذلك بانه عندما تقترب قيمة \(x\) من الصفر فإن نهاية الدالة \(f\) هي \((\infty)\).
يمكن أيضا كتابة ذلك كما يلي:
$$f(x) \to \infty \text{ عندما } x \to 0$$
يُقرأ هذا التعبير كما يلي: "الدالة \(f(x)\) توؤل الى ما لانهاية عندما توؤل \(x\) من الصفر".
الطريقة الرياضية الأكثر استخداما لكتابة هذا التعبير هي:
$$ \lim_{x \to 0}f(x)=\infty$$
وتُقرأ "نهاية الدالة \(f (x)\) عندما تقترب \(x\) من الصفر تساوي ما لانهاية".
الآن تعرفنا على نهاية الدالة في المنطقة الغير مُعرفة وذلك عندما تكون قيمة المتغير المستقل \((x=0)\), ولكن ماذا سيحدث إذا درسنا نهاية الدالة لقيمة من قيّم المتغير المُستقل المسموح بها أي قيمة من قيّم مجال الدالة؟
فإذا استخدمنا نفس الدالة أعلاه \((\frac{1}{x^{2}})\)، ما هي نهاية الدالة إذا إخترنا قيمة كبيرة من قيّم \(x\)؟ بمعنى آخر: ما هي نهاية الدالة \(f\) عندما تقترب \(x\) مما لانهاية؟
مرة أخرى سنستخدم جدول القيّم التالي:
|
\(x\) | |
| \(0,01\) | \(10\) | |
| \(0,0001\) | \(100\) | |
| \(0,000001\) | \(1000\) |
نلاحظ أنه كلما زادت قيمة المتغير المُستقل كلما اقتربت قيمة الدالة من الصفر.
وفي هذه الحالة يمكننا كتابة نهاية الدالة على النحو التالي:
$$\lim_{x \to \infty}f(x)=0$$
وتُقرأ "نهاية الدالة \(f (x)\) عندما توؤل \(x\) الى ما لا نهاية تساوي صفر".
في المثال أعلاه تعرفنا على نهاية الدالة الممكنه مباشرة من التعبير المُعطى ولكن يمكنك أيضا إيجاد النهاية بعد إعادة كتابة تعبير الدالة.
فيما يلي مثال:
$$f(x)=\frac{x^{2}+3x}{2x}$$
هذه الدالة في شكلها الحالي مُعرفة لجميع قيّم \(x\) ماعدا الصفر \((x=0)\) (لأن المقام يجب ألا يساوي صفر). ما هي نهاية هذه الدالة عندما تكون \(x=0\)؟
نلاحظ أن البسط في هذا التعبير يمكن تحليله بإستخراج \(x\) كعامل مشترك (أيضا لدينا العامل \(x\) في المقام). بالتالي يمكننا إختصار هذا التعبير كما يلي:
$$f(x)=\frac{x^{2}+3x}{2x}=\frac{x\cdot (x+3)}{2x}=\frac{x+3}{2}$$
الآن أصبح لدينا تعبير رياضي خالي من المتغير \(x\) في المقام لهذا يمكن أن نخلص إلى أن هذه الدالة مُعرفة لجميع قيّم \(x\) في الواقع، وذلك بعد اعادة كتابتها في هذه الشكل بدلا من الشكل الأصلي!
يمكننا الآن حساب نهاية هذه الدالة بالضبط:
$$\lim_{x \to 0}f(x)=\lim_{x \to 0}\frac{x+3}{2}=\frac{0+3}{2}=\frac{3}{2}$$
وهذه هي نهاية هذه الدالة عندما توؤل \(x\) الى الصفر. بعد أن وصلنا الى أن الدالة مُعرفة لجميع قيّم \(x\) تحصلنا أيضا على قيمة الدالة بالضبط وذلك بتعويض القيمة \(x=0\) في تعبير الدالة المُبسط.
فيديوهات الدرس
هنا سنشرح مفهوم نهاية الدالة.
إيجاد نهاية دالة من الدوال التي لا تبدو مُعرفة عند جميع القيّم من النظرة الأولى.