إستنتاج مشتقة الدالة \(e^{x}\)

في القسم السابق ذكرنا العدد \(e\) وإحدي خصائصه المُميّزة والتي تتلخص في أن مُشتقة الدالة \(f(x) = e^x\) هي نفس الدالة \(f' (x) = e^x\). في هذا القسم سنقوم بإثبات صحة هذه القاعدة, أي إثبات أن مُشتقة الدالة \(f(x) = e^x\) هي \(f' (x) = e^x\) وذلك باستخدام تعريف المُشتقة الأولي.

في قسم من أقسام هذا الباب السابقة استعرضنا تعريف المُشتقة باستخدام المسافة-h كما في المعادلة التالية:

$$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

سنستخدم هذا التعريف لأثبات صحة أن مُشتقة الدالة \(f(x) = e^x\) هي \(f' (x) = e^x\). سنبدأ بتعويض الدالة قيمة \(f(x) \) في هذه النهايه ثم نحاول إختصارها لأبسط صورة ممكنه:

$$\begin{align} f'(x)= & \lim_{h \to 0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h} \\ & \\ = & \lim_{h \to 0}\frac{e^x\cdot e^h-e^x}{h} \\ & \\ = & \lim_{h \to 0}\frac{e^{x}\cdot (e^{h}-1)}{h} \end{align}$$

يمكننا استخراج العامل \(e^x\) خارج النهاية لأنه لا يؤثر على قيمة النهاية في حالة \(h \to 0\):

$$f'(x)=e^{x}\cdot \lim_{h \to 0}\frac{e^{h}-1}{h}$$

لا يمكننا تبسيط هذا التعبير أكثر من ذلك. إذا نظرنا لهذا التعبير سنلاحظ أنه عبارة عن حاصل ضرب عاملين هما \(e^x\) والنهاية. لإيجاد هذه المُشتقة يجب إيجاد القيمة التي ستؤول إليها هذه النهاية:

$$\lim_{h \to 0}\frac{e^{h}-1}{h}$$

لنحسب هذه النهاية عدديا وذلك من خلال إختيار قيّم صغيرة لــ \(h\).

\(\frac{e^{h}-1}{h}\)	\(h\)
\(1,0517...\)	\(0,1\)
\(1,005...\)	\(0,01\)
\(1,0000005...\)	\(0,00000\)

نلاحظ أن إقتراب قيمة h من الصفر يؤدي لإقتراب قيمة النهاية من الواحد الصحيح. أي أن قيم النهاية تساوي 1.

$$\lim_{h\rightarrow 0} \frac{e^{h}-1}{h}=1$$

بما أن قيمة هذه النهاية تساوي واحد صحيح فإن المُشتقة ستصبح:

$$\begin{align}f'(x)= & e^{x}\cdot \lim_{h\to 0} \frac{e^{h}-1}{h} \\ & \\ = & e^{x}\cdot 1 \\ & \\ = & e^{x} \end{align}$$

بالتالي تم إثبات صحة أن المٌشتقة تساوي الدالة نفسها، أي أنه إذا كان:

$$f(x)=e^x$$

فإن مُشتقتها تساوي:

$$f'(x)=e^x$$

فيديو الدرس

كيفية إشتقاق الدالة الأُسية التي أساسها العدد \(e\) \((e^{x})\).