معادلات بدون قيمة-q

في السابق رأينا كيفية إيجاد حلول معادلات الدرجة الثانية التي تكون في صيغتها التامه, أيضا رأينا كيفية إيجاد حلول هذا النوع من معادلات الدرجة الثانية التي تنقصها قيمة-p.

في هذا القسم سنكرر إحدى الطُرق التي يمكن استخدامها لإيجاد حلول معادلات الدرجة الثانية التي لا تحتوي على قيمة-q (أي عندما تكون q تساوي صفر). هذه الطريقة قابلتنا في السابق وهي ما تسمى بطريقة الضرب الصفري.

فيما يلي مثال لمعادلة من الدرجة الثانية لا تحتوي على قيمة-q:

$$x^{2}+4x=0$$

يمكنا إعادة كتابة هذه المعادلة بطريقة أخرى كما يلي

$$x^{2}+4x+0=0$$

أي بنفس الطريقة كما في قسم معادلات الدرجة الثانية التي لا تحتوي على قيمة-p يمكنا كتابة المعادلة بحيث يكون الصفر قيمة q في حالة q تساوي صفرا.

لنرى أولا كيف يمكن حل هذا النوع من معادلات الدرجة الثانية باستخدام صيغة-pq:

$$p=4 \\q=0$$

$$x=-\frac{4}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{4}{2} \right )^{2}-0}$$

$$x=-2\pm \sqrt{4}$$

$$x=-2\pm 2 \Rightarrow$$

$$x_{1}=0 $$

$$x_{2}=-4$$

ولكن هنالك طريقة أخرى أسهل وأسرع لحل هذا النوع من معادلات الدرجة الثانية. سنبدأ بتحليل الطرف الأيسر للمعادلة باستخراج \(x\) كعامل مُشترك:

$$x^{2}+4x=x(x+4)=0$$

الآن لدينا عاملان حاصل ضربهما يساوي صفر. طرفا هذه المعادلة سيتساويان (VL=0=HL) عندما يكون أحد هاذين العاملين يساوي صفرا:

$$x\cdot (x+4)=0$$

فهذا يعني أن الجذر الأول لهذه المعادلة هو \(x=0\):

$$0\cdot (0+4)=0\cdot 4=0$$

يمكننا الحصول على الجذر الثاني إذا اعتقدنا أن العامل الثاني هو الذي سيكون صفر، العامل الثاني هو:

$$(x+4)$$

وفي حالة الحد الثاني يساوي صفر سيكون لدينا معادلة صغيرة يمكن حلها كما يلي:

$$ (X + 4)=0 \Rightarrow x=-4 $$

أي أن الجذر الثاني لهذه المعادلة هو \(x=-4\):

$$-4\cdot (-4+4)=-4\cdot 0=0$$

الآن تم حل هذه المعادلة بإيجاد جذريها. يمكننا التأكد من صحة هذه الحلول التي توصلنا إليها باختبارها وذلك بتعويض كل من الجذرين في المعادلة الأصلية بصورة منفصلة:

$$x_{1}=0$$

$$0^{2}+4\cdot 0=0$$

$$x_{2}=-4$$

$$(-4)^{2}+4\cdot (-4)=16-16=0$$

لنحل مثال آخر عبارة عن معادلة من الدرجة الثالثة:

$$x^{3}-6x^{2}+5x=0$$

كيف يمكننا حل هذه المعادلة؟ يمكن مباشرة ملاحظة أن الطرف الأيسر يتألف من حدود جميعها تحتوي على المتغير \(x\) وهذا يعني أنه يمكننا تحليل الطرف الأيسر الى عوامل باستخراج \(x\) كعامل مُشترك:

$$x^{3}-6x^{2}+5x=0 \Rightarrow$$

$$x(x^{2}-6x+5)=0$$

الآن من العامل الأول \(x\) يمكننا مباشرة ملاحظة أن الجذر الأول هو

$$x_{1}=0$$

العامل الثاني هو

$$(x^{2}-6x+5)$$

بمساواة هذا العامل بالصفر يمكن تكوين معادلة أخرى صغيرة وحلها باستخدام صيغة-pq وإيجاد الجذرين الآخرين:

$$x^{2}-6x+5=0$$

$$p=-6$$

$$q=5$$

$$x=-\frac{(-6)}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{-6}{2} \right )^{2}-5}$$

$$x=3\pm \sqrt{4}=3\pm 2 \Rightarrow$$

$$x_{2}=1$$

$$ x_{3}=5$$

هذه عبارة عن معادلة خاصة من معادلات الدرجة الثالثة تم حلها بسهولة باستخدام طريقتي التحليل إلى عوامل وصيغة-pq. قد يكون من المفيد جدا أن نتذكر هاتين الطريقتين واستخدامهما في حل معادلات من الدرجات الأعلى.

إستخدام الآلة الحاسبة

هنا تم استخدام الآلة الحاسبة البيانية Casio FX-CG20.
شاهد نفس التمرين على الآلة الحاسبة البيانية Casio FX-9750GII.

جميع الآلات الحاسبة البيانية من الماركات الأخرى لديها نفس الوظائف تقريباً.