المشتقة الثانية
في القسم السابق تعلمنا كيف يمكننا رسم المُنحنيات بإستخدام مُشتقة الدالة، وبدراسة إشارات المُشتقة عند النقاط المجاورة رأينا كيف يمكن تحديد نوع النقاط القُصوى (نقطة كُبرى أم صُغرى) أم نقطة سرجية وهي النقاط التي تكون فيها المشتقة الأولى صفر.
ولكن هذه الطريقة تحتاج إلى عمليات حسابية كثيرة. لذلك من المعقول أن نبحث عمّا إذا كان هناك طريقة أخرى أسهل لتحديد نوع مثل هذه النقاط، طريقة أخرى غير طريقة تحديد نوع النقاط من شكل مُنحنى الدالة لأنها ليست دائما جديرة بالثقة.
لحسن الحظ هناك طريقة ستُبَسّـط هذه المهمة تماما.
سابقا تعلمنا كيف يمكننا إشتقاق الدوال بإستخدام قواعد التفاضل التي تم استنتاجها من تعريف المشتقة بإستخدام المسافة-h.
فيما يلي نأخذ مثال على إشتقاق الدوال بتطبيق قواعد التفاضل المذكورة أعلاه على الدالة التالية:
$$f(x)=x^{3}-3x^{2}$$
هذه دالة من الدرجة الثالثة ومُشتقتها هي كما يلي:
$$\\f'(x)=3x^{2}-6x$$
لنحدد قيّم \(x\) للنقاط القُصوى المُمكنة وذلك بمساواة المشتقة بالصفر ومن ثم نحل المعادلة الناتجة:
$$0=3x^{2}-6x\Rightarrow x_{1}=0,\: x_{2}=2$$
بما أننا تحصلنا على قيمتين لــ \(x\) فهذا يعني أن لدينا نقطتين قصوتين يمكن دراستهما.
هل هاتين النقطتين عبارة عن نقاط عُظمى أم صُغرى أم سرجية؟ يمكننا المواصلة في إستخدام دراسة الإشارات ولكن سنحاول استخدام طريقة أفضل:
إذا قمنا بإشتاق المُشتقة الأولى للدالة مرة أخرى سنحصل على تعبير جديد وهو ما يُسمى بالمُشتقة الثانية للدالة (وذلك لأن الدالة تم إشتقاقها مرتين، كما أن ناتج اشتقاق الدالة مرة واحدة فقط يُسمى بالمشتقة الأولى للدالة). يتم اشتقاق المُشتقة الأولى للدالة بإستخدام نفس قواعد الاشتقاق التي استخدمناها سابقا:
$$\\f'(x)=3x^{2}-6x$$
$$\\f''(x)=6x-6$$
\(f''(x)\) هو التعبير الرياضي للمُشتقة الثانية للدالة.
يمكن إستخدام المُشتقة الثانية لتحديد نوع النقاط (صُغرى، عُظمى أم سرجية) وذلك بتعويض قيّم \(x\) (التي سنحصل عليها من المُشتقة الأولى) في المشتقة الثانية. يتم تحديد نوع النقطة بناءاً على قيّم المشتقة الثانية التي سنحصل عليها بتعويض قيّم \(x\).
في حالة تكون المُشتقة الأولى تساوي صفر عند نقطة ما فهذا يعني أن هذه النقطة إما أن تكون عُظمى أو صُغرى أو سطحية – وهذا ما يعتمد على قيمة المُشتقة الثانية كما يلي:
النقطة العُظمى
عندما تكون المُشتقة الثانية أقل من الصفر
$$f''(x)<0$$
بمعنى أنه إذا كانت قيمة المُشتقة الثانية سالبة عند هذه النقطة فهذا يعني أن لدينا قيمة عُظمى عند هذه النقطة ونقول أن الدالة مُقعّرة.
النقطة الصُغرى
عندما تكون المُشتقة الثانية أكبر من الصفر
$$f''(x)>0$$
بمعنى أنه إذا كانت قيمة المُشتقة الثانية موجبة عند هذه النقطة فهذا يعني أن لدينا قيمة صُغرى عند هذه النقطة ونقول أن الدالة مُحدبة.
النقطة السطحية
أما إذا كانت الدالة تحتوي على نقطة سطحية:
$$f''(x)=0$$
لاحظ أن قيمة المُشتقة الثانية يمكن أن تساوية صفر عند إحدى النقاط القُصوى غير النقطة السرجية.
نأخذ المثال التالي
$$f(x)=x^{4}$$
تحتوي على قيمة قُصوى عندما \(x\) تساوي صفر ما يعني أن قيمة المُشتقة الثانية هي:
$$f''(0)=0$$
لاحظ أن النقطة القُصوى لهذه الدالة ليست نقطة سرجية، وفي هذه الحالة المُشتقة الثانية لا تعطي معلومات كافية عن قيمة الدالة القُصوى. بالتالي عندما تكون قيمة المُشتقة الثانية صفر عند إحدى النقاط القُصوى ففي هذه الحالة علينا استخدام طريقة إنشاء جدول الإشارات لتحديد نوع النقطة القُصوى (عُظمى، صُغرى) أم نقطة سرجية.
لنرجع الآن الى الدالة \(f(x)=x^{3}-3x^{2}\) المذكورة أعلاه ونعوض قيّم \(x\) في المُشتقة الثانية لهذه الدالة:
$$f''(0)=6\cdot 0-6=-6$$
$$f''(2)=6\cdot 2-6=6$$
بما أن قيّم المُشتقة الثانية هي \(-6\) و \(6\) بالتالي يمكننا أن نقول أن الدالة لها قيمة عُظمى عند النقطة القُصوى المحلية الأولى وقيمة صُغرى عند النقطة القُصوى المحلية الثانية.
فيديوهات الدرس
في هذا الفيديو سنشرح المُشتقة الثانية.
هنا سنستعرض المعلومات التي يمكننا الحصول عليها من المُشتقة الثانية.
كيفية إستخدام الآلة الحاسبة البيانية.
هنا تم إستخدام الآلة البيانية Casio FX-CG20.
شاهد نفس التمرين على الآلة الحاسبة البيانية Casio FX-9750GII.
الآلات الحاسبة البيانية من الماركات الأخرى لديها نفس الوظائف تقريباً.