اللوغاريثم الطبيعي

في الأقسام السابقة تعرّفنا على العدد e وشرحنا كيف يمكن إشتقاق الدوال الأُسية من النوع \(f(x) = e^{xْ}\) و\(f(x) = e^{kxْ}\). ولكن ما الذي يجعل يجعل العدد \(e\) مُميّز جداً, ذلك العدد الغير نسبي وقيمته تساوي 2,72 تقريباً؟

في هذا القسم سنتعرف على سبب أهمية العدد \(e\) ومدى إستخداماته.

إعادة كتابة الأعداد في صورة قوة أساسها العدد \(e\)

في الكورس رياضيات 2 ذكرنا كيف يمكننا إعادة كتابة الأعداد في صورة قوة أساسها العدد  10 (قوى العدد عشرة) وذلك بإستخدام اللوغاريثمات ذات الأساس 10.

يمكننا على سبيل المثال إعادة كتابة العدد 3 في صورة قوة أساسها العدد 10 كما يلي:

$$3=10^{\lg 3}$$

بنفس الطريقة يمكننا إعادة كتابة الأعداد في صورة قوة أساسها العدد \(e\), بحيث يُكتب لوغاريثم العدد \(e\) بالرمز \(ln\) و يُسمى باللوغاريثم الطبيعي. يمكن إعادة كتابة العدد 3 في صورة قوة أساسها العدد \(e\) كما يلي:

$$3=e^{\ln 3}$$

إذا كان لدينا أي عدد a ونريد إعادة كتابته في صورة قوة أساسها العدد \(e\) يمكننا أعادة كتابته كما يلي:

$$a=e^{\ln a}$$

ما هي الفائدة من اللوغاريثم الطبيعي؟

إعادة كتابة الأعداد في صورة قوة أساسها العدد \(e\) بإستخدام اللوغاريثم الطبيعي \(ln\) مفيدة جداً في إشتقاق (تفاضل) الدوال الأُسية (دوال القوى) العامة. بدون إستخدام اللوغاريثم الطبيعي يمكننا إشتقاق دوال القوى باستخدام قاعدة تعريف المُشتقة وهذا ما يُسمى بالطريقة الغير مُباشرة.

في القسم القادم سنتعلم كيف يُمكننا إشتقاق الدوال الأُسية العامة.