تحليل متعددات الحدود إلى عوامل
في السابق تعلمنا طريقة التحليل إلى عوامل واستخدامها لإعادة كتابة التعبيرات الرياضية وفي القسم الأول من هذا الباب استخدمنا عملية ضرب متعددات الحدود لحساب حاصل ضرب متعددتي حدود.
انظر الى مثال عملية ضرب متعددات الحدود التالي:
$$x\cdot(x+4)=0 $$
لدينا عملية ضرب عادية:
$$ x^{2}+4x=0$$
تحليل متعددات الحدود إلى عوامل هو عبارة عن عملية عكسية لعملية ضربها. يمكن تحليل متعددات الحدود الى عِدة عوامل باستخراج العامل المشترك في جميع الحدود. يمكننا تحليل متعددات الحدود باستخراج أكبر عدد من العوامل المشتركة في جميع حدود التعبير الرياضي ان وُجدت، أي العوامل التي يمكن قسمة جميع الحدود عليها. هذا هو ما يُسمى بالتحليل إلى عوامل - التحليل باستخراج العامل المشترك وكتابة التعبير في صورة حاصل ضرب.
هنالك العديد من الأسباب لعملية تحليل التعبيرات الرياضية. أحد الأسباب الشائعة هو عندما نحاول إيجاد نقاط إنعدام الدالة، ويمكن تسهيل ذلك بتحليل التعبير الى عِدة عوامل وبذلك يمكننا استخدام طريقة ناتج الضرب الصفري. من الأسباب الشائعة الآخرى لتحليل التعبيرات الرياضية إلى عِدة عوامل هو تسهيل عمليات تبسيط التعبيرات المعقدة كالتعبير التالي على سبيل المثال:
$$\frac{x^{2}+2x}{x}$$
ما نريد القيام به في هذه الحالة هو إعادة كتابة البسط بطريقة ما، بحيث يمكننا تبسيط كل من البسط والمقام. يمكن تحليل البسط إلى عوامل باستخراج العامل المشترك \(x\) في البسط لنحصل على
$$ \frac{x\cdot(x+2)}{x}$$
وبإلغاء الـ \(x\) مع \(x\) يمكن تبسيط هذا التعبير إلى
$$\frac{\cancel{\color{Blue} x}\cdot(x+2)}{\cancel{\color{Blue} x}} = x+2$$
وذلك لأن العامل \(x\) موجود في كل البسط والمقام.
العامل المُشترك المناسب لاستخراجه خلال عملية تحليل أي تعبير رياضي يعتمد على ما نريد الوصول اليه. إذا كنا على سبيل المثال نحاول تبسيط تعبير رياضي مقامه \((x+1)\)
فسيكون من الجيّد تحيل البسط بإستخراج نفس العامل كعامل مُشترك في البسط.
يمكن تسهيل هذا المفهوم بأخذ الأمثله التالية
\(6x^{2} \}\) و \(x\) يقبلان القسمة علـى \(\{x\) \( 6x^{2}-x=9 \Rightarrow \)
\(\Rightarrow x(6x-1) = 9\)
\(4x^{2} \}\) و \(2 x^{3}\) يقبلان القسمة علـى \(\{2 x^{2}\) \(4x^{2}-2x^{3}=9 \Rightarrow \)
\(\Rightarrow 2x^{2}(2-x)=9\)
يمكن تسهيل عملية التحليل الى عِدة عوامل بالرجوع الى بعض القواعد الحسابيه التي درسناها في السابق. بما أن قواعد التربيع وقاعدة ضرب المُترافقيّن التي تم تكرارها في قسم ضرب متعددات الحدود هي عبارة عن معادلة رياضية (الطرف الأيسر يساوي الطرف الأيمن) بالتالي يمكننا استخدامها في الإتجاه المعاكس.
نختم هذا القسم بمثال نرى فيه كيف يمكننا استخدام هذه القواعد لتحليل متعددات الحدود إلى عِدة عوامل.
بَسّـط التعبير
$$ \frac{x^{3}-4x}{x+2}$$
نحلل البسط إلى عوامل:
$$\frac{x^{3}-4x}{x+2}=$$
$$=\frac{x(x^{2}-4)}{x+2}$$
نلاحظ أن لدينا \(x\) كعامل مشترك في حدي البسط وبالتالي يمكننا تحليل البسط باستخراج هذا العامل. الآن ما هي الخطوة القادمة؟ فإذا نظرنا للبسط سنجد أنه يحتوي على العامل
$$x^{2}-4$$
يمكننا أيضا إعادة كتابة هذا العامل كما يلي
$$x^{2}-2^{2}$$
أيضا نلاحظ أن المقام يتكون من
$$ x+2$$
ما يجعلنا نتساءل عما إذا كان بامكاننا تحليل البسط بحيث يصبح يحتوي على نفس ما لدينا في المقام. بالفعل نلاحظ أنه باستخدام قاعدة ضرب المُترافقيّن يمكننا إعادة كتابة هذا التعبير كما يلي
$$\frac{x(x^{2}-4)}{x+2}= $$
$$= \frac{x\cdot(x+2)\cdot(x-2)}{x+2}$$
الآن لدينا تعبير رياضي يمكننا تبسيطه والحصول على نتيجه مبسطه كما يلي
$$\frac{x\cdot \cancel{\color{Blue} {(x+2)}} \cdot(x-2)}{\cancel{\color{Blue} {(x+2)}}}=$$
$$= x\cdot(x-2)$$