التحليل إلى عوامل
في الأقسام السابقة تعرفنا على متعددات الحدود وكيفية إجراء عملية ضرب متعددات الحدود. كما تعلمنا أيضا قواعد مفيدة لثلاثة حالات خاصة من عمليات ضرب متعددات الحدود: قاعدتي التربيع الأولى والثانية و قاعدة ضرب المترافقين.
في هذا القسم سنتعرف أكثر على عملية تحليل متعددات الحدود، وهو أحد المفاهيم التي قابلتنا في الكورس السابق وتحديدا في قسم الأقواس والمتغيرات.
تحليل متعددة الحدود إلى عدة عوامل هو عبارة عن العملية العكسية لعملية ضرب متعددتي حدود. وتتم عملية تحليل متعددة الحدود بإعادة كتابتها في صورة حاصل ضرب متعددتي حدود آخرتين (عاملين آخرين).
عندما نحلل متعددة حدود إلى عوامل نعيد كتابتها بحيث تصبح في صورة حاصل ضرب عاملين على الأقل. عملية تحليل متعددات الحدود عملية مفيدة جدا في حل معادلات الدرجة الثانية على سبيل المثال, وهذا ما سندرسه في قسم من أقسام الكورس القادم.
التحليل باستخراج عامل مُشترك
سنبدأ بأبسط أنواع التحليل وهو استخراج العوامل المُشتركة في التعبير الجبري.
دعونا ننظر إلى مثال بسيط
$$3x+6=3\cdot x+3\cdot 2=3\cdot (x+2)$$
في المثال أعلاه قمنا بإخراج العامل المُشترك 3 من حَدّي متعددة الحدود \((3x + 6)\) وبذلك تمت إعادة كتابة متعددة الحدود الأصلية \((3x + 6)\) في صورة حاصل ضرب متعددتي حدود وهما: 3 وهي متعددة حدود من الدرجة صفر (ثابت) لأنها لا تحتوي على حد متغير و \((x + 2)\) وهي متعددة حدود من الدرجة الأولى.
اختيار العامل المُشترك المناسب من التعبير الجبري واستخراجه يعتمد على ما نحاول الوصول اليه. العامل المشترك في جميع حدود التعبير الجبري قد لا يكون واضحا في بعض الأحيان. في مثل هذه الحالات من الجيّد أن نتذكر قواعد قابلية القسمة التي درسناها في الكورس السابق وهذا سيساعد في تحديد ما نبحث عنه. في المثال أعلاه نلاحظ أن الحدين يمكن قسمتهما علـى 3, بالتالي إذا أردنا تحليل هذا التعبير إلى أقصى ما يمكن يمكن اختيار الـ 3 كعامل مشترك في الحدين.
إذا كان لدينا مسألة أو مهمة تحتوي على أعداد كبيرة فمن ثم يمكننا تحليلها الى أعداد أولية لإيجاد الأعداد التي يمكن استخراجها كعوامل مُشتركة ولكن غالبا ما لا يتطلب الأمر القيام بذلك.
فإذا أردنا تحليل تعبير جبري إلى عدة عوامل نبدأ بمحاولة إيجاد شيء (عدد، متغير أو تعبير داخل قوسين) مشترك أي يوجد في جميع حدود التعبير. مثلا قد تحتوي جميع الحدود على المتغير \(x\) أو على سبيل المثال قد تحتوي على أعداد زوجية سواء كانت حد أو معامل (قابلة القسمة علـى 2). بالتالي يمكننا استخراج العامل المشترك في جميع الحدود. وبهذه الطريقة يمكننا استخراج ما يمكن استخراجه حتى يتم استخراج جميع العوامل المشتركة.
نأخذ مثال آخر بحيث يكون لدينا متعددة حدود من الدرجة الثالثة ونريد تحليلها إلى جميع العوامل الممكنة
$$4x^{2}-8x+6x^{3}$$
نبدأ بالبحث عن عامل مشترك في الحدود الثلاثة. نلاحظ أن الحدود الثلاثة تحتوي على العامل \(x\) وهذا يعني أنه يمكن أن نبدأ باستخراج \(x\) كعامل مشترك:
$$4x^{2}-8x+6x^{3}=$$
$$=x\cdot 4x-x\cdot 8+x\cdot 6x^{2}=$$
$$=x\cdot (4x-8+6x^{2})$$
الآن تم استخراج عامل مشترك واحد ما يعني أن متعددة الحدود الأصلية تمت كتابتها في صورة حاصل ضرب متعددتي الحدود \(x\) و \((4x - 8 + 6x^2)\).
هل يمكننا تحليل هذا التعبير إلى عوامل أكثر من ذلك؟ بما أن العامل \(x\) (خارج القوسين) لا يحتوي على مزيدا من العوامل سننظر إلى ما بداخل القوسين فقط. وفي هذه الحالة نلاحظ أن جميع حدود التعبير داخل القوسين تقبل القسمة علـى 2, وهذا يعني أن بإمكاننا استخراج الــ 2 كعامل مشترك خارج القوسين كما يلي:
$$x\cdot (4x-8+6x^{2})=$$
$$=x\cdot (2\cdot 2x-2\cdot 4+2\cdot 3x^{2})=$$
$$=x\cdot 2\cdot (2x-4+3x^{2})=$$
$$=2x\cdot (2x-4+3x^{2})$$
الآن تم التحليل إلى عوامل وأصبح التعبير الأصلي عبارة عن حاصل ضرب متعددتي الحدود \(2x\) و \((2x - 4 + 3x^2)\). فإذا رجعنا الآن ونظرنا مرة أخرى لما بداخل القوسين سنلاحظ أنه عبارة عن تعبير يتكون من ثلاثة حدود لا تحتوي على أي عامل مشترك إضافي يمكن استخراجه. وهذا يعني أن التعبير الأصلي تم تحليله إلى جميع العوامل الممكنة في هذا السياق.
بالتالي من خلال التحليل إلى عوامل وصلنا الى أن هذا التعبير يمكن كتابته بطريقتين مختلفتين كما يلي:
$$4x^{2}-8x+6x^{3}=2x\cdot (2x-4+3x^{2})$$
التحليل باستخدام قواعد التربيع وقاعدة ضرب المترافقين
غالبا ما يمكننا تحليل التعبيرات الجبرية باستخراج العوامل المشتركة كما رأينا سابقا في هذا القسم. ومع ذلك قد لا يكفي هذا دائما لعملية التحليل، وقريبا سنرى أهمية استخدام كل من قواعد التربيع و قاعدة ضرب المترافقين في عملية تحليل التعبيرات الجبرية إلى عدة عوامل.
لنوضح أهمية استخدام هذه القواعد بمثال
إذا أردنا تحليل ذات الحدين التالية إلى عوامل
$$x^{2}-9$$
نلاحظ مباشرة أن هذين الحدين لا يحتويان على أي عامل يمكننا استخراجه كعامل مشترك. الحد الأول هو عبارة عن حد متغير معامله 1, بينما الحد الثاني فهو عبارة عن حد ثابت (عدد). استخراج الــ 1 كعامل مشترك ليس له أي معنى في هذا السياق.
بالمقابل إذا استرجعنا ذاكرتنا يمكننا تحليل هذا التعبير باستخدام قاعدة ضرب المترافقين (تحليل الفرق بين مربعين) على النحو التالي:
$$x^{2}-9$$
$$=x^{2}-3^{2}$$
$$=(x+3)(x-3)$$
بنفس الطريقة يمكننا استخدام قواعد التربيع لتحليل التعبيرات الجبرية كما يلي:
$$x^{2}+10x+25$$
$$=x^{2}+2\cdot 5\cdot x+5^{2}$$
$$=(x+5)^{2}$$
أي أننا استخدمنا قاعدة التربيع الأولى في هذا المثال.
فيديوهات الدرس (باللغة السويدية)
كيفية استخراج العامل المُشترك.
كيفية تحليل الأعداد أو التعبيرات الجبرية.
Här går vi igenom faktorisering med hjälp av kvadreringsreglerna och konjugatregeln.
مثال على التحليل في خطوتين.