إكمال المربع
لاحظنا سابقا أنه يمكننا بصورة عامة كتابة معادلات الدرجة الثانية في الصيغة التالية
$$ax^{2}+bx+c=0$$
حيث أن a و b و c ثوابت و \(a\neq 0\).
في القسم السابق تعلمنا كيفية حل معادلات الدرجة الثانية ذات الصيغة الغير كاملة، أي الحالات التي تكون فيها معادلات الدرجة الثانية خالية من حد الدرجة الأولى \(x\) (أي عندما يكون الثابت b = 0) وهي ما تُسمى بمعادلات الدرجة الثانية البسيطة أو الحالات التي تكون فيها معادلات الدرجة الثانية خالية من الحد الثابت (c = 0) وهي ما يتم حلها بتحليل الطرف الأيسر الى عدة عوامل ثم استخدام طريقة ناتج الضرب الصفري.
ولكن هذه حالات خاصة فقط. فكيف يمكننا التعامل مع الحالة العامة، عندما يكون للثوابت a, b و c قيّم غير الصفر؟ وهذه هي الحالة العامة التي سنتناولها الآن وذلك باستخدام طريقة إكمال المربع، وهي طريقة مهمة وستقودنا إلى صيغة- pq, وهي أيضا طريقة مفيدة جدا وسوف نستخدمها في المستقبل في حل معادلات الدرجة الثانية.
فيما يلي مثال لمعادلة من الدرجة الثانية في الصيغة الكاملة ونريد حلها جبريا
$$3x^2-6x-9=0$$
لحل هذه المعادلة بإكمال المربع سنبدأ بإعادة كتابة المعادلة بحيث يكون معامل \(x^2\) يساوي واحد صحيح وذلك بقسمة المعادلة علـى 3 كما يلي:
$$\frac{3x^2}{{\color{Blue} 3}}-\frac{6x}{{\color{Blue} 3}}-\frac{9}{{\color{Blue} 3}}=0$$
$$x^2-2x-3=0 $$
الآن لدينا نفس المعادلة أعلاه مكتوبة في صيغة أخرى يمكننا كتابتها بصورة عامة على النحو التالي:
$$ x^2+px+q=0$$
حيث أن p و p أعداد حقيقية.
عندما يكون لدينا معادلة الدرجة الثانية مكتوبة في هذه الصيغة يمكننا إعادة كتابتها كما في الخطوة التالية، بحيث يكون الطرف الأيسر عبارة عن مُربع كامل يتضمن المتغير.
نبدأ بتحويل الحد الثابت إلى الطرف الأيمن كما يلي:
$$x^2-2x-3=0$$
$$x^2-2x-3\,{\color{Blue} +\, 3}=0\,{\color{Blue} +\, 3}$$
$$x^2-2x=3$$
وفيما يلي سنحاول إيجاد عدد مناسب، ليكن d ثم نضيفه الى طرفي المعادلة بحيث يمكننا إعادة كتابة الطرف الأيسر في شكل مُربع كامل:
$$x^2-2x=3$$
$$x^2-2x+d=(x-\sqrt{d})^2=d+3 $$
ما هو هذا العدد d الذي يجعل ذلك ممكنا؟ هذا يعتمد على قيمة معامل \(x\) في المعادلة.
إذا رجعنا الى قاعدة التربيع الثانية، سنلاحظ أنه يمكننا كتابتها بصورة عامة كما يلي
$$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$$
يمكننا مقارنة حدود هذه المعادلة مع حدود معادلتنا (المُراد حلها) في هذا المثال وكتابتها بنفس الطريقة:
$$x^2-2x+d=(x-\sqrt{d})^2$$
الآن نلاحظ أن العدد a في قاعدة التربيع يطابق العدد \(x\) في معادلتنا. أيضا نلاحظ أن b يجب أن تساوي 1 في معادلتنا. فإذا كان \(b^2\) يساوي d فهذا يعني أن \(d = 1^2 = 1\). إذن العدد d المُراد اضافته لطرفي المعادلة يساوي 1.
ولذلك يمكننا إعادة كتابة معادلتنا على النحو التالي:
$$x^2-2x+d=(x-\sqrt{d})^2=d+3$$
$$x^2-2x+1=(x-\sqrt{1})^2=1+3$$
$$(x-1)^2=4$$
هذا ما أردنا الوصول إليه، الآن لدينا معادلة يمكن حلها بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ومن ثم إيجاد قيّم \(x\). وبإكمال المربع تمكنا من إعادة كتابة معادلة الدرجة الثانية في صيغة بحيث يمكننا حلها بالطُرق المعروفة لدينا.
بأخذ الجذر التربيعي للطرفين الأيسر والأيمن يمكننا الحصول على حلول المعادلة كما يلي:
$$(x-1)^2=4$$
$$x-1=\pm\sqrt{4}=\pm 2$$
مما يعطينا, إما
$$x - 1 = 2$$
$$x - 1\, {\color{Blue}{ +\, 1}} = 2\, {\color{Blue} {+\, 1}}$$
$$x_1 = 3$$
أو
$$x - 1 = -2$$
$$x - 1\, {\color{Blue} {+\, 1}} = -2\, {\color{Blue} {+\, 1}}$$
$$x_2 = -1$$
أي أننا حصلنا على حلين حقيقيين للمعادلة الأصلية وهما: \(x_1 = 3\) و \(x_2 = -1\).
في هذا المثال تمت إعادة كتابة معادلة الدرجة الثانية لكي نتمكن من استخدام قاعدة التربيع الثانية. وتم استخدام قاعدة التربيع الثانية لأن الحد الثاني في الطرف الأيسر حد سالب \((-2x)\). أما إذا كان لدينا حد موجب \(2x\) على سبيل المثال فسنستخدم قاعدة التربيع الأولى ونعيد كتابة التعبير كما يلي
$$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$$
مثال آخر على حل معادلة من الدرجة الثانية بإكمال المربع
$$x^2+4x-5=0$$
نلاحظ أن هذه المعادلة مكتوبة بالصيغة المطلوبة
$$x^{2}+px+q=0$$
لذلك لا نحتاج إلى قسمة المعادلة علـى أي شيء في هذه الحالة.
بنفس الطريقة كما في المثال السابق سنبدأ بتحويل الحد الثابت إلى الطرف الأيمن وذلك بإضافة 5 للطرفين.
$$x^2+4x-5=0$$
$$x^2+4x-5\,{\color{Blue} {+\,5}}={\color{Blue} {+\,5}}$$
$$x^2+4x=5$$
الآن علينا إيجاد العدد المناسب لإكمال المُربع في الطرف الأيسر.
بما أن الحد المتغير \(4x\) يحتوي على معامل موجب (4) سنستخدم قاعدة التربيع الأولى للحصول على مُربع كامل في الطرف الأيسر
$$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$$
مرة أخرى بمطابقة \(a\) مع \(x\) يمكننا كتابة التعبير التالي
$$ x^2+2bx+b^2=(x+b)^2$$
إذن الحد الثاني \(4x\) سيساوي \(2bx\) وهي عبارة عن معادلة أخرى يمكن حلها للحصول على قيمة b:
$$4x=2bx$$
$$\frac{4x}{{\color{Blue} x}}=\frac{2bx}{{\color{Blue} x}}$$
$$4=2b$$
$$b=2$$
يمكن تعويض \(b = 2\) وإعادة كتابة معادلة الدرجة الثانية بإضافة \(b^2\) للطرفين ومن ثم إعادة كتابة الطرف الأيمن في صورة مُربع كامل:
$$x^2+4x+2^2=5+2^2$$
$$(x+2)^2=9$$
الآن لدينا معادلة يمكننا حلها بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ومن ثم إيجاد قيّم \(x\) كما يلي:
$$(x+2)^2=9$$
$$x+2=\pm\sqrt{9}=\pm3$$
$$x_1+2=3$$
$$x_1+2\,{\color{Blue} {-\,2}}=3\,{\color{Blue} {-\,2}}$$
$$x_1=1$$
$$x_2+2=-3$$
$$x_2+2\,{\color{Blue} {-\,2}}=-3\,{\color{Blue} {-\,2}}$$
$$x_2=-5$$
بالتالي توصلنا إلى الحلين الحقيقيين للمعادلة الأصلية وهما: \(x_1 = 1\) و \(x_2 = -5\).
في هذا القسم تعلمنا كيف يمكن حل معادلات الدرجة الثانية باستخدام إكمال المربع. في القسم القادم سنتعلم كيف يمكن حل معادلات الدرجة الثانية باستخدام طريقة أخرى مشابهة وهي صيغة- pq, صيغة- pq طريقة مفيدة جدا لحل معادلات الدرجة الثانية وهي عبارة عن تعميم لخطوات الحل التي استخدمناها في هذا القسم.
فيديوهات الدرس (باللغة السويدية)
اليكم في هذا الفيديو طريقة إكمال المُربع.
كيفية حل معادلات الدرجة الثانية باستخدام طريقة إكمال المُربع.
استخدام الآلة الحاسبة
هنا تم استخدام الآلة الحاسبة البيانية (Casio FX-CG20).
شاهد نفس التمرين على الآلة الحاسبة البيانية (Casio FX-9750GII).
الآلات الحاسبة البيانية من الماركات الأخرى لديها نفس الوظائف تقريبا.