صيغة-PQ
في القسم السابق تعلمنا كيفية إكمال المُربع وهي طريقة يمكن استخدامها في حل معادلات الدرجة الثانية عندما تكون في صيغتها الكاملة. في هذا القسم سنناقش طريقة أخرى لحل معادلات الدرجة الثانية، وهي صيغة-pq ويمكن اشتقاقها باستخدام عملية إكمال المربع وهي طريقة عملية جدا.
كما رأينا سابقا يمكننا كتابة الصيغة الكاملة لمعادلات الدرجة الثانية كما يلي
$$ax^{2}+bx+c=0$$
حيث أن \(c\; و\; b\; و\; a\) جميعها أعداد حقيقية و \(a\) لا يمكن أن تساوي صفر.
لكي نتمكن من استخدام صيغة-pq لحل معادلات الدرجة الثانية يجب إعادة كتابة المعادلة حتى تصبح في الصورة التالية
$$x^{2}+px+q=0$$
وهذا ما يتم بقسمة جميع حدود المعادلة الأصلية علـى المعامل \(a\) عندما تكون له قيمة غير الواحد الصحيح؛ أما إذا كان \(a = 1\) فهذا يعني أننا لا نحتاج لإجراء القسمة.
وهذه هي نفس الصورة التي قابلناه سابقا في قسم إكمال المربع وهي الصورة المطلوبة لتطبيق صيغة-pq.
سُميت هذه الطريقة بصيغة-pq نسبة للمعاملان \(q\; و\; p\) وفيما يلي العلاقة بينهما وبين معاملات الصورة العامة لمعادلات الدرجة الثانية \(c\; و\; b\; و\; a\) المذكورة سابقا في بداية هذا القسم:
$$p=\frac{b}{a}\;\;\;و\;\;\;q=\frac{c}{a}\\$$
وتم ذلك بقسمة المعاملات \(c\; و\; b\; و\; a\) علـى \(a\) لكي يصبح معامل الحد \(x^2\) عبارة عن واحد صحيح.
صيغة-pq هي كما يلي:
$$x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left (\frac{p}{2} \right )^{2}-q}$$
أي أن حل معادلة الدرجة الثانية (قيمة/قيّم \(x\)) يساوي نصف معامل \(x\) (\(\frac{p}{2}\) مع عكس الإشارة) زائد أو ناقص الجذر التربيعي لمُربع نصف معامل \(x\) ناقص الحد الثابت.
استخدام صيغة-pq
يمكن شرح كيفية استخدام هذه الصيغة بتطبيقها في حل المثال التالي
$$4x^{2}+32x+28=0$$
نلاحظ أن هذه المعادلة ليست في الصورة المطلوبة لتطبيق صيغة-pq وذلك لأن معامل \(x^2\) لا يساوي 1.
لذا يجب علينا أن نقسم جميع حدود المعادلة علـى 4 (معامل \(x^2\)) للحصول على صورة المعادلة المطلوبة:
$$\frac{4x^{2}}{4}+\frac{32x}{4}+\frac{28}{4}=\frac{0}{4}$$
$$x^{2}+8x+7=0$$
بما ان المعادلة أصبحت في الصورة المطلوبة يمكننا الاستمرار في حلها باستخدام صيغة-pq.
الخطوة الأولى هي تحديد قيّم \(q\; و \;p\) مباشرة من المعادلة.
$$p=8$$
$$q=7$$
الآن لدينا قيّم \(q\; و\; p\) ويمكننا فقط تعويضهما في صيغة-pq ونحصل على قيّم \(x\) (حَل المعادلة):
$$x=-\frac{8}{2}\pm\sqrt{\left (\frac{8}{2} \right )^{2}-7}$$
$$x=-\frac{8}{2}\pm\sqrt{16-7}$$
$$x=-4\pm\sqrt{9}$$
$$x=-4\pm 3$$
أي أن جذري المعادلة هما:
$$\\\left\{\begin{matrix} x_{1}=-4+3=-1\\ \\ x_{2}=-4-3=-7 \end{matrix}\right. \\$$
نلاحظ أن الجذرين حقيقيين (حلين حقيقيين). معادلات الدرجة الثانية دائما يكون لها حلين ولكن قد لا يكون الحلين حقيقيين. فيما يلي سنتعرف على الحالات التي يكون فيها لمعادلات الدرجة الثانية إما حلين حقيقيين أو حل حقيقي واحد أو ليس لها حل حقيقي.
المُمَيِّز
يُسمى التعبير تحت علامة الجذر في صيغة-pq,
$$\left (\frac{p}{2} \right )^{2}-q$$
بمُميز المعادلة. قيمة هذا المميز هي التي تُحدد عدد الحلول الحقيقية لمعادلة الدرجة الثانية.
إذا كان المميز أكبر من الصفر سيكون للمعادلة حلان حقيقيان. إذا كان المميز يساوي صفر سيكون للمعادلة التربيعية حل حقيقي واحد (أي أن المعادلة لها جذر متكرر). أما إذا كان المميز أقل من الصفر فهذ يعني أن المعادلة ليس لها حلول حقيقية (ولكن يمكننا إيجاد حلولها والتعبير عن هذه الحلول باستخدام الأعداد المركبة).
فيما يلي نلخص هذه الحالات الثلاث المختلفة:
حليّن حقيقيين \(\left (\frac{p}{2} \right )^{2}-q>0\Rightarrow \)
حل حقيقي واحد \(\left (\frac{p}{2} \right )^{2}-q=0\Rightarrow \)
ليس لها حلول حقيقية \(\left (\frac{p}{2} \right )^{2}-q<0\Rightarrow\)
عمليا هذا يعني أن في الحالة الأولى سنحصل على قيمة موجبة تحت الجذر، في الحالة الثانية سنحصل على صفر تحت الجذر (أي قيمة الجذر "التعبير" كاملا ستساوي صفر) وفي الحالة الثالثة سنحصل على قيمة سالبة تحت الجذر وهذا ما يقودنا لاستخدام ما يُسمى بالأعداد المركبة للتعبير عن جذور المعادلة.
اشتقاق صيغةـpq
يمكن اشتقاق صيغةـpq باستخدام طريقة إكمال المربع وفي هذا الجزء سنشرح كيفية اشتقاق هذه الصيغة لمن يرغب في ذلك.
نبدأ بالصورة التالية لمعادلة الدرجة الثانية
$$x^{2}+px+q=0$$
الخطوة الأولى هي تحويل الحد الثابت \(q\) إلى الطرف الأيمن وذلك بطرح \(q\) من الطرفين كما يلي:
$$x^{2}+px+q{\color{Red} \,-\,q}=0{\color{Red} \,-\,q}$$
$$x^{2}+px=-q\\$$
الخطوة التالية إيجاد العدد المناسب \((d)\) واضافته لطرفي المعالة لإكمال المربع في الطرف الأيسر.
يمكننا حساب قيمة العدد \(d\) كما يلي
$$d=\left (\frac{p}{2} \right )^{2}$$
واضافة قيمة الثابت \(d\) للطرفين
$$x^{2}+px+ \left (\frac{p}{2} \right )^{2}=\left (\frac{p}{2} \right )^{2}-q$$
يمكننا إعادة كتابة الطرف الأيسر باستخدام قواعد التربيع وتم اختيار هذه القيمة للعدد \(d\) لهذا الغرض، لذا سنحصل على ما يلي:
$$\left ( x+\left (\frac{p}{2} \right ) \right )^{2}=\left ( \frac{p}{2} \right )^{2}-q$$
ومن ثم أخذ الجذر التربيعي للطرفين
$$\sqrt{\left ( x+\left (\frac{p}{2} \right ) \right )^{2}}=\pm\sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right )^{2}-q}$$
$$x+\left (\frac{p}{2} \right )=\pm\sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right )^{2}-q}$$
ثم نوجد قيمة \(x\)
$$x+\left (\frac{p}{2} \right ){\color{Red} \,-\,\left (\frac{p}{2} \right )}=\pm\sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right )^{2}-q}{\color{Red} \,-\,\left (\frac{p}{2} \right )}$$
$$x=-\left ( \frac{p}{2} \right )\pm\sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right )^{2}-q}$$
كما نلاحظ الآن وصلنا إلى صيغةـpq ويمكننا استخدامها لإيجاد حلول معادلات الدرجة الثانية بطريقة أسهل نسبيا. أيضا يمكننا استخدام صيغةـpq لحل المعادلات ذات الصيغة الغير كاملة، ولكن استخدامها في مثل هذه الحالات قد لا يكون له معنى وذلك لأن هناك طرق أخرى يمكن استخدامها لمثل هذه الحالات الخاصة.
فيديوهات الدرس (باللغة السويدية)
في هذا الفيديو سنشرح كيفية اشتقاق صيغة-pq.
هنا سنرى كيف يمكننا استخدام صيغة-pq لحل معادلات الدرجة الثانية.
هنا سنشرح مفهوم المُمَيِّز.