طريقة التعويض
في القسم السابق شرحنا كيفية حل أنظمة المعادلات الخطية الآنية بيانيا. وفي هذا القسم سنرى كيف يمكننا حلها جبرياً بطريقة التعويض.
لحل نظام المعادلات الخطية جبريا يمكننا إعادة كتابة نظام المعادلات بحيث يكون لدينا معادلة واحدة فقط ومن ثم نحلها. طريقة التعويض هي محاولة حل هذه المعادلة المُستخلصة وإيجاد قيمة أحد المتغيرات، كــ \(y\) مثلا, ومن ثم تعويض قيمة الـ \(y\) في المعادلة الأخرى.
لنرى ذلك من خلال حل المثال الذي قابلناه في القسم السابق
$$\\\left\{\begin{matrix}y=2x+4\: \: (1)\\ y=3x+2\: \: (2)\end{matrix}\right.\\$$
(لتكون المعادلة المعنية واضحة قمنا بكتابة رقم يمين كل معادلة وأصبح لدينا المعادلة رقم واحد والمعادلة رقم اثنين. هذه الأرقام لا تدخل في الحسابات وانما هي للتمييز بين المعادلتين فقط).
إذا بدأنا بالنظر إلى المعادلة 1 \((y = 2x + 4)\), سنلاحظ أن المتغير \(y\) وحده في الطرف الأيسر, ما يعني أننا لا نحتاج لإجراء أي خطوة.
لكي تكون المعادلة الأولى مساوية للمعادلة الثانية يجب أن يحتويا على نفس القيمة لــ \(y\). كما توصلنا في القسم السابق إلى أن حل نظام المعادلات الخطية الآنية هو عبارة عن نقطة تقاطع الخطين - ومن ثم يجب أن تقع هذه النقطة على هاذين الخطين وبالتالي يجب أن تكون قيّم \(x\) و \(y\) هي نفسها على طول الخطين (المعادلتين). وهذا يعني أنه يمكننا تعويض قيمة \(y\) من المعادلة 1 وكتابة قيمتها في المعادلة 2 (أي كتابة التعبير \(2x + 4\) في المعادلة 2, لأنها تُمثل قيمة \(y\)). ومن ثم نحصل على ما يلي
$$2x+4=3x+2$$
الآن تحصلنا على معادلة تحتوي على متغير مجهول واحد فقط وهو \(x\) ويمكننا إيجاد قيمة \(x\) كما يلي:
$$2x+4=3x+2$$
$$2x+4\,{\color{Blue} -\,2x} = 3x+2\,{\color{Blue} -\,2x}$$
$$4=x+2$$
$$4\,{\color{Blue} -\,2}=x+2\,{\color{Blue} -\,2}$$
$$x=2$$
الآن لدينا قيمة \(x\) ويمكننا إيجاد قيمة \(y\) بتعويض قيمة \(x\) في المعادلة 1 (أو في المعادلة 2؛ قيمة \(y\) ستكون هي نفسها بغض النظر عن المعادلات التي اخترنا استخدامها):
$$y=2\cdot 2+4=4+4=8$$
الآن نلاحظ أن الحل الجبر بطريقة التعويض هو نفس الحل البياني الذي توصلنا اليه وهو \(x = 2\) و \(y = 8\).
إذن طريقة التعويض هي احدى طُرق حل نظام المعادلات الخطية الآنية جبريا. في القسم التالي سنتعرف على طريقة جبرية أخرى وهي طريقة الجمع (جمع المعادلات).
فيديوهات الدرس (باللغة السويدية)
كيفية حل نظام المعادلات بإستخدام طريقة التعويض.
نظام المعادلات الذي يحتوي على ثلاثه مجاهيل.
طريقة استخدام الآلة الحاسبة البيانية
هنا تم استخدام الألة الحاسبة البيانية (Casio FX-CG20).
شاهد نفس المثال على الآلة الحاسبة البيانية (Casio FX-9750GII).
الآلات الحاسبة البيانية من الماركات الأخرى لديها نفس الوظائف تقريبا.