الانحراف المعياري
في القسم السابق ناقشنا مقياس تشتُت القراءات الإحصائية حول الوسيط باستخدام كل من عرض التغيّر والأرباع ولكن قد نحتاج أيضا لمقياس التشتُت حول القيمة المتوسطة. المقياس الأكثر شيوعا لقياس التشتُت حول المتوسط هو الانحراف المعياري وهذا ما سنتعرف عليه في هذا القسم.
تعريف الانحراف المعياري
الانحراف المعياري هو متوسط انحرافات قيّم المجموعة من قيمة المتوسط. فكلما زادت قيمة الانحراف المعياري كلما زاد مقدار تشتُت قيّم المجموعة.
لحساب الانحراف المعياري سنبدأ بحساب متوسط قيّم المجموعة (سنرمز للمتوسط بالحرف \(m\))، ثم نحسب انحرافات قيّم المجموعة (سنرمز لكل قيمة بــ \(x\)) من قيمة المتوسط \(m\).
لذلك يمكننا كتابة انحراف القيمة \(x\) من المتوسط كما يلي
$$x-m$$
حيث ان \(x\) هي قيمة من قيّم المجموعة و \(m\) هي المتوسط لهذه المجموعة.
الخطوة التالية هي تربيع كل انحراف من انحرافات هذه القيّم من المتوسط، وهذا ما يعطي قيّم موجبة لجميع الانحرافات بالإضافة الى أن الانحرافات الكبيرة ستصبح أكبر بكثير بالمقارنة مع الانحرافات الصغيرة.
بالتالي سيكون الانحراف المُربع لكل قيمة كما يلي
$$(x-m)^2$$
بعد الحصول على قيّم هذه الانحرافات مُربعة; نريد معرفة متوسط هذه الانحرافات المُربعة وذلك بجمع هذه الانحرافات المُربعة وقسمة مجموعها علـى عدد القراءات (القيّم)، كما يلي:
$$\frac{\sum {(x-m)^2}}n$$
حيث أن \(n\) هو عدد القراءات الإحصائية (القيّم).
الآن كل شيء واضح تقريباً ولكن وحدة هذه القيمة التي سنحصل عليها من الصيغة أعلاه ليست نفس وحدة قيّم المجموعة. ويمكن تصحيح ذلك بأخذ الجذر لمتوسط هذه الانحراف المُربعة.
وبذلك يمكننا تلخيص صيغة الانحراف المعياري كما يلي:
$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum {(x-m)^2}}{n}}$$
حيث أن الرمز \(\sum\) هو عبارة عن مجموع ما يقع يمينه، \(x\) هي قيمة من قيّم المجموعة، \(m\) هي المتوسط و \(n\) هي عدد قيّم المجموعة.
الانحراف المعياري
دعونا الآن نأخذ مثالين واقعيَيّن لنرى كيفية حساب الانحراف المعياري وذلك باستخدام حالتي التشتُت لأعمار أفراد وجبتي العشاء في الأمثلة المذكورة في الأقسام الإحصائية السابقة.
في وجبة عشاء الأسرة كانت أعمار الحاضرين وقيمتها المتوسطة \(m_s\) كما يلي:
$$1,\, 4,\, 3,\, 15,\, 72,\, 41,\, 30,\, 27,\, 72,\, 8,\, 42,\, 36,\, 33,\, 46,\, 44$$
سنة \(m_s = 31,6 \)
في وجبة عشاء الأصدقاء كانت أعمار الحاضرين وقيمتها المتوسطة \(m_k\) كما يلي:
$$30,\, 31,\, 33,\, 34,\, 35,\, 34,\, 28,\, 34,\, 33,\, 34,\, 36,\, 35,\, 32,\, 31,\, 32$$
سنة \(m_k =32,8 \)
الآن يمكننا حساب انحراف كل قيمة من قيمة المتوسط.
في الجدول أدناه قمنا بحساب انحراف أعمار الحاضرين لكل من الأسرة والأصدقاء:
| \( m_{k}=32,8 \) |
عشاء الأصدقاء (Kompismiddag) |
\( m_{s}=31,6 \) |
عشاء الأسرة (Släktmiddag) |
| \((x_{k}-m_{k})\) | \(x_{k}\) | \((x_{s}-m_{s})\) | \(x_{s}\) |
| \(-4,8\) |
\(28\) | \(-30,6\) |
\(1\) |
| \(-2,8\) | \(30\) | \(-28,6\) | \(3\) |
| \(-1,8\) | \(31\) | \(-27,6\) | \(4\) |
| \(-1,8\) | \(31\) | \(-23,6\) | \(8\) |
| \(-0,8\) | \(32\) | \(-16,6\) | \(15\) |
| \(-0,8\) | \(32\) | \(-4,6\) | \(27\) |
| \(0,2\) | \(33\) | \(-1,6\) | \(30\) |
| \(0,2\) | \(33\) | \(1,4\) | \(33\) |
| \(1,2\) | \(34\) | \(4,4\) | \(36\) |
| \(1,2\) | \(34\) | \(9,4\) | \(41\) |
| \(1,2\) | \(34\) | \(10,4\) | \(42\) |
| \(1,2\) | \(34\) | \(12,4\) | \(44\) |
| \(2,2\) | \(35\) | \(14,4\) | \(46\) |
| \(2,2\) | \(35\) | \(40,4\) | \(72\) |
| \(3,2\) | \(36\) | \(40,4\) | \(72\) |
بعد حساب الانحرافات من القيمة المتوسطة لكل قيمة من هذه القيّم يمكننا الآن تربيع هذه الانحرافات كما في الجدول التالي:
| \( m_{k}=32,8 \) |
عشاء الأصدقاء (Kompismiddag) |
\( m_{s}=31,6 \) |
عشاء الأسرة (Släktmiddag) |
| \((x_{k}-m_{k})^2\) | \(x_{k}\) | \((x_{s}-m_{s})^2\) | \(x_{s}\) |
| \(23,04\) | \(28\) | \(936,36\) | \(1\) |
| \(7,84\) | \(30\) | \(817,96\) | \(3\) |
| \(3,24\) | \(31\) | \(761,76\) | \(4\) |
| \(3,24\) | \(31\) | \(556,69\) | \(8\) |
| \(0,64\) | \(32\) | \(275,56\) | \(15\) |
| \(0,64\) | \(32\) | \(21,16\) | \(27\) |
| \(0,04\) | \(33\) | \(2,56\) | \(30\) |
| \(0,04\) | \(33\) | \(1,96\) | \(33\) |
| \(1,44\) | \(34\) | \(19,36\) | \(36\) |
| \(1,44\) | \(34\) | \(88,36\) | \(41\) |
| \(1,44\) | \(34\) | \(108,16\) | \(42\) |
| \(1,44\) | \(34\) | \(153,76\) | \(44\) |
| \(4,84\) | \(35\) | \(207,36\) | \(46\) |
| \(4,84\) | \(35\) | \(1632,16\) | \(72\) |
| \(10,24\) | \(36\) | \(1632,16\) | \(72\) |
الآن سنجمع هذه الانحرافات المُربعة لكل مجموعة ونحسب الانحراف المعياري لكل مجموعة.
في حالة أفراد وجبة عشاء الأسرة سنحصل على
$$\sigma_k=\sqrt{\frac{\sum {(x_s-m_s)^2}}{n}}=\sqrt{\frac{7215,6}{15}}\approx21,9$$
وفي حالة أفراد وجبة عشاء الأصدقاء سنحصل على
$$\sigma_k=\sqrt{\frac{\sum {(x_k-m_k)^2}}{n}}=\sqrt{\frac{66,64}{15}}\approx2,1$$
كما توقعنا نلاحظ أن لدينا تشتُت (21,9 سنة) في حالة أعمار الأسرة وهو أكبر بكثير من تشتُت أعمار الأصدقاء (2,1 سنة)، بالرغم من حساب التشتُت حول القيمة المتوسطة.
الانحراف المعياري لعينات معينة
في المثالين أعلاه تم حساب الانحراف المعياري لجميع العينات (أعمار جميع المشاركين في كلا الحالتين) ولكن في حالة المسح الإحصائي الأكبر غالبا ما تتم دراسة مجموعة محددة من العينات. يمكن حساب الانحراف المعياري لمجموعة محددة بالصيغة التالية
$$s = \sqrt{\frac{\sum (x-m)^{2}}{n-1}}$$
الاختلاف عن الصيغة العادية للانحراف المعياري هو القسمة علـى \((n - 1)\) بدلا من \(n\). وذلك لأن الدراسات الإحصائية أثبتت أن استخدام هذه الصيغة يعطي نتائج أفضل من صيغة الانحراف المعياري الفعلية.
التوزيع الطبيعي هو أحد الاستخدامات الشائعة للانحراف المعياري وهذا ما سنتعرف عليه في القسم القادم.
فيديوهات الدرس (باللغة لسويدية)
مفهوم الانحراف المعياري.
مثال على كيفية حساب الانحراف المعياري.