قاعدة ضرب المترافقيّن
في القسم السابق تعلمنا قاعدتي تربيع التعبيرات الجبرية التي تتكون من مجموع حدين أو الفرق بين حدين. في هذا القسم سنشرح قاعدة حسابية لها صلة وثيقة بذلك تُسمى بقاعدة ضرب المترافقين وهي أيضا مفيدا جدا.
ملحوظة إضافية: في بعض مناهج البُلدان الأخرى يُسمى هذا الدرس بالفرق بين مُربعين وذلك لأن حاصل ضرب المترافقين هو عبارة عن فرق بين مُربعين.
قاعدة ضرب المترافقين مفيدة جدا وستساعدنا في إحدى الحالات الخاصة من عمليات ضرب متعددات الحدود وهي قاعدة مشابهة لعملية اشتقاق قواعد التربيع.
الحالة الخاصة التي تهمنا في هذا الدرس هي عملية ضرب تعبيرين جبريين كل منهما يتكون من حدين داخل قوسين. الحدين داخل القوسين الأولين هما نفس الحدين داخل القوسين الآخرين، الاختلاف الوحيد بينهما هو وجود علامة زائد بين حدين وعلامة ناقص بين الحدين الآخرين. أي أن أحد التعبيرين عبارة عن مجموع حدين والتعبير الآخر عبارة عن الفرق بينهما. أي أن عملية الضرب التالية
$$(a+b)\cdot(a-b)$$
عبارة عن حاصل ضرب مترافقين, بمعنى أن \((a+b)\) هو مرافق \((a-b)\) والعكس صحيح.
ليكون هذا أكثر وضوحا سنأخذ أولا مثال وبعد ذلك الصورة العامة.
فيما يلي سنقوم بضرب تعبيرين كل منهما داخل قوسين وهما أيضا عبارة عن متعددتي حدود:
$$(x+3)\cdot (x-3)$$
هاتين المتعددتين متشابهتين، الاختلاف الوحيد بينهما هو أن التعبير الثاني يحتوي على إشارة سالب أي أن أمام حده الثاني علامة مختلفة؛ ما يعني أن في أحد التعبيرين لدينا حاصل جمع الحدين وفي التعبير الثاني لدينا حاصل طرحهما.
إذا أجرينا عملية ضرب هذه الأقواس كما تعلمناها سابقا سنحصل على ما يلي:
$$(x+3)\cdot (x-3)=x\cdot x-3\cdot x+3\cdot x-3\cdot 3=$$
$$=x^2-3x+3x-3^2=x^2-3^2$$
هنا لدينا ملاحظة خاصة وهي أن ناتج هذا الضرب هو عبارة حدين مُربعين (فرق بين مُربعين) أحدهما متغير \((x^2)\) والآخر ثابت \((3^2)\) ولا يوجد لدينا حد متغير من الدرجة الأولى وهو نفس ما حصلنا عليه في القسم السابق.
فيما يلي سندرس الصورة العامة لقاعدة ضرب المترافقين بحيث يكون الحد الأول في التعبيرين هو a والحد الثاني هو b:
$$(a+b)\cdot (a-b)=$$
$$=a\cdot a-a\cdot b+b\cdot a-b\cdot b=$$
$$=a^2-ab+ab-b^2=$$
$$=a^2-b^2$$
ما وصلنا إليه هو ما يُسمى بقاعدة ضرب المترافقين وهذا يعني أن هذه القاعدة تنطبق في الحالة التي يكون فيها قيّم الحدين a و b داخل القوسين الأوليّن هي نفس قيمهما داخل القوسين الآخرين (أي أن قيّم حدود المضروب هي نفس قيّم حدود المضروب فيه)، ولكن هذين الحدين تفصلهما إشارة موجب في أحد التعبيرين بينما في التعبير الآخر تفصلهما إشارة سالب (أي أحدهما مجموع والآخر فرق):
$$(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$$
كما هو من الجيّد التدرب على قواعد التربيع أيضا من الجيّد أن نتدرب على قاعدة ضرب المترافقين وحفظها عن ظهر قلب، فهي مفيدا جدا في عملية تحليل متعددات الحدود إلى عدة عوامل, وهذا ما سنتعلمه في القسم القادم.
فيديوهات الدرس (باللغة السويدية)
في هذه الفيديوهات سنشرح قاعدة ضرب المترافقين.