معادلات الدرجة الثانية البسيطة
في القسم السابق تعلمنا كيفية كتابة معادلات الدرجة الثانية في الصيغة التالية
$$ax^{2}+bx+c=0$$
حيث أن a و b وc ثوابت و \(a\neq 0\) لكي لا يختفي حد الدرجة الثانية \(( ax^2)\) من المعادلة.
في هذا القسم سنناقش كيفية حل معادلات الدرجة الثانية البسيطة وهي المعادلات التي تكون في الصيغة التالية
$$ax^{2}+c=0$$
أي الحالة التي يكون فيها الثابت \(b = 0\)
حل معادلات الدرجة الثانية هو إيجاد النقاط التي تنعدم فيها الدالة المقابلة (أصفار الدالة)، أي قيّم \(x\) التي يتقاطع عندها المنحنى مع محور \(x\).
في القسم السابق تعلمنا كيف يمكننا حل معادلات الدرجة الثانية بيانيا وذلك برسم الدالة بيانيا وإيجاد نقاط انعدام الدالة، ولكن لا نحتاج إلى حل معادلات الدرجة الثانية بيانيا. يمكننا أيضا حل معادلات الدرجة الثانية جبريا ولقد قمنا بذلك في الكورس رياضيات 1 في الواقع حيث قمنا بحل معادلات القوى.
الحل الجبري لمعادلات الدرجة الثانية البسيطة
عندما نريد حل معادلة من معادلات الدرجة الثانية البسيطة سيكون هدفنا هو وضع المتغيّرات في طرف والثوابت في الطرف الآخر وذلك بإجراء بعض العمليات الحسابية وفقا لشكل المعادلة.
لنأخذ مثال حيث نرى كيف يمكننا حل معادلة الدرجة الثانية التالية جبريا:
$$2x^{2}-50=0$$
هناك طرق مختلفة لحل هذه المعادلة ولكن لأننا نريد وضع الحد المتغير في أحد الطرفين والحد الثابت في الطرف الآخر سنبدأ بإضافة 50 لطرفي المعادلة كما يلي
$$2x^2-50+{\color{Blue}{ 50}}={\color{Blue} {50}}$$
$$2x^2 = 50$$
لا يزال لدينا المعامل (2) أمام الحد \(x^2\) في الطرف الأيسر، لذا سنقسم الطرفين علـى 2 لتصبح \(x^2\) لوحدها:
$$\frac{2x^2}{{\color{Blue} 2}} = \frac{50}{{\color{Blue} 2}}$$
$$x^2 = 25$$
يمكننا الحصول على قيمة/قيّم \(x\) في هذه المعادلة بإيجاد الجذر التربيعي للطرفين. وفي هذه الحالة لدينا جذرين, جذر موجب وجذر سالب:
$$\sqrt{x^{2}}=\pm \sqrt{25}$$
$$x=\pm 5$$
إذن لدينا حلين لهذ المعادلة وهما
$$x_1=5$$
$$x_2=-5$$
معادلات الدرجة الثانية التي ليس لها حل حقيقي
إذا كان لدينا بدلا من ذلك معادلة الدرجة الثانية التالية
$$x^{2}+25=0$$
وحاولنا حلها بنفس الطريقة التي اتبعناها في المثال أعلاه سنحصل على ما يلي:
$$x^{2}+25=0$$
$$x^{2}+25-{\color{Blue} {25}}=0-{\color{Blue}{ 25}}$$
$$x^{2}=-25$$
$$\sqrt{x^{2}}=\sqrt{-25}$$
نلاحظ أن لدينا عدد سالب تحت علامة الجذر. وهذا يعني أن هذه المعادلة ليس لها جذور حقيقية. إذا رجعنا إلى قسم معادلات الدرجة الثانية السابق يمكننا أن نفهم أن منحنى هذه الدالة سوف لن يتقاطع مع محور \(x\) وبالتالي ليس لها نقاط انعدام (قيّم صفرية) مما يعني أن ليس لها جذور حقيقة.
لاحقا في هذا الباب وتحديدا في قسم الأعداد المركبة سنرى كيف يمكننا التعامل مع مثل هذه المواقف (عندما لا يكون للمعادلة حلول حقيقية) وذلك باستخدام الأعداد التخيلية للتعبير عن مثل هذا الحل.
فيديوهات الدرس (باللغة السويدية)
طريقة الجذر التربيعي لحل معادلات الدرجة الثانية.
حل معادلة من معادلات الدرجة الثانية البسيطة.
الآلة الحاسبة المُستخدمة
هنا تم استخدام الآلة الحاسبة البيانية (Casio FX-CG20).
شاهد نفس المسألة على الآلة الحاسبة البيانية (Casio FX-9750GII).
الآلات الحاسبة البيانية من الماركات الأخرى لديها نفس الوظائف تقريبا.