قوانين اللوغاريثمات
هذا القسم يدخل في مقرر كل من رياضيات 2b ورياضيات 2c.
كما ذكرنا في قسم اللوغاريثم العشري السابق فإن اللوغاريثمات من الدروس المهمة جدا في حَل المعادلات الأُسية, أي المعادلات التي تحتوي على متغير \((x)\) في القوة (الأُس).
هناك مجموعة من قواعد الوغاريثمات يجب أن نتعلمها ونتذكرها فهي مفيدة جدا في تبسيط حَل المعادلات الأُسية.
هناك ثلاثة من قواعد الوغاريثمات يمكننا اشتقاقها باستخدام كل من قوانين القوى وتعريف اللوغاريثم العشري. فيما يلي سنشرح هذه القواعد الثلاث وكيفية اشتقاقها.
قاعدة اللوغاريثمات الأولى
القاعدة الأولى هي قاعدة لوغاريثم حاصل ضرب عددين، كما يلي:
$$\lg(x \cdot y)$$
سنبدأ بإعادة كتابة العددين \(x\) و \(y\) في صورة أُسية أساسها العدد 10
$$x=10^{\lg\,x}$$
$$y=10^{\lg\,y}$$
ثم نعوض هذه الصور الأُسية في التعبير الأصلي أعلاه
$$\lg\, (x\cdot y)=\lg\, (10^{\lg\, x}\cdot 10^{\lg\, y})$$
باستخدام قاعدة حاصل ضرب القوى التي لها نفس الأساس
$$x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}$$
يمكننا الآن إعادة كتابة ذلك التعبير كما يلي
$$\lg\, (10^{\lg\, x}\cdot 10^{\lg\, y})=\lg\, (10^{\lg\, x+\lg\, y})$$
وبتطبيق تعريف اللوغاريثم العشري يمكننا كتابة
$$\lg\, (10^{\lg\, x+\lg\, y})=\lg\,x+\lg\,y$$
إذن قاعدة اللوغاريثمات الأولى هي كما يلي
$$\lg\, \left (x\cdot y \right )=\lg\,x+\lg\,y$$ أي أن لوغاريثم حاصل ضرب أي عددين يساوي حاصل جمع لوغاريثمي العددين.
قاعدة اللوغاريثمات الثانية
قاعدة اللوغاريثمات الثانية هي قاعدة لوغاريثم حاصل قسمة عددين، كما يلي
$$\lg\,\left ( \frac{x}{y} \right )$$
بنفس الطريقة كما في حالة قاعدة اللوغاريتمات الأولى سنبدأ بإعادة كتابة العددين \(x\) و \(y\) في صورة أُسية أساسها العدد 10, ومن ثم نحصل على
$$\lg\,\left ( \frac{x}{y} \right )=\lg\left( \frac{10^{\lg\,x}}{10^{\lg\,y}} \right)$$
من هنا يمكننا باستخدام قاعدة حاصل قسمة القوى التي لها نفس الأساس
$$\frac{x^{a}}{x^{b}}=x^{a-b}$$
يمكننا إعادة كتابة هذا التعبير كما يلي
$$\lg\left( \frac{10^{\lg\,x}}{10^{\lg\,y}}\right) =\lg(10^{\lg\,x-\lg\,y})$$
وباستخدام تعريف اللوغاريثم العشري يمكننا كتابة
$$\lg(10^{\lg\,x-\lg\,y})=\lg\,x-\lg\,y$$
إذن قاعدة اللوغاريثمات الثانية هي كما يلي
$$\lg\,\left ( \frac{x}{y} \right )=\lg\,x-\lg\,y$$ أي أن لوغاريثم حاصل قسمة أي عددين يساوي حاصل طرح لوغاريثمي العددين.
قاعدة اللوغاريثمات الثالثة
قاعدة اللوغاريثمات الثالثة هي قاعدة لوغاريثم القوى (الصورة الأُسية)، كما يلي
$$\lg\,x^{a}$$
تماما كما في حالة الاشتقاقات أعلاه سنبدأ باستخدام تعريف اللوغاريثم العشري وذلك بإعادة كتابة \(x\) في صورة أُسية أساسها العدد 10 ونعوض قيمة \(x\) بهذه الصورة الأُسية في التعبير
$$\lg\,x^{a}=\lg\,(10^{\lg\,x})^{a}$$
باستخدام قاعدة قوى القوى
$$\left (x^{a} \right )^{b}=x^{a\cdot\, b}$$
يمكننا إعادة كتابة التعبير على النحو التالي
$$\lg\,(10^{\lg\,x})^{a}=\lg\,10^{\lg(x)\cdot a}=\lg\,10^{a\cdot \lg\,x}$$
وهذا ما يمكن كتابته كما يلي
$$\lg\,10^{a\cdot\, \lg\,x}=a\cdot \lg\,x$$
إذن قاعدة اللوغاريثمات الثالثة هي
$$\lg\,x^{a}=a\cdot \lg\,x$$ أي أن لوغاريثم أي صورة أُسية تساوي حاصل ضرب الأُس فــي لوغاريثم الأساس.
تذكر أن!
$$\lg\, \left (x\cdot y \right )=\lg\,x+\lg\,y$$
$$\lg\,\left ( \frac{x}{y} \right )=\lg\,x-\lg\,y$$
$$\lg\,x^{a}=a\cdot \lg\,x$$
إذا أردنا وضع \(1\,000\) كرونة في صندوق مالي مقابل فوائد مالية بنسبة \(12\%\). كم عدد السنوات اللازم لكي يكون لدينا \(10\,000\) في الصندوق؟
$$1000\cdot 1,12^{x}=10000$$
$$\frac{1000\cdot 1,12^{x}}{1000}=\frac{10000}{1000}$$
$$1,12^{x}=10$$
وبأخذ اللوغاريثم للطرفين يمكننا كتابة:
$$log\, 1,12^{x}=log\, 10$$
$$x\cdot log\, 1,12=log\, 10$$
$$(log\, 10=1)$$
$$x=\frac{1}{log\, 1,12}\approx 20,3$$
الإجابة: 20 سنة و 4 شهور
فيديوهات الدرس (باللغة السويدية)
في هذا الفيديو نستعرض قوانين اللوغاريثمات الثلاث.
كيفية حساب اللوغاريثمات باستخدام الآلة الحاسبة
نفس المثال على آلة حاسبة أخرى.
الآلات الحاسبة من الماركات الأخرى لديها نفس الوظائف تقريباً.