قواعد التربيع
في القسم السابق شرحنا مفهوم متعددة الحدود كما درسنا عملية ضرب متعددات الحدود. في هذا القسم سنشرح حالتين خاصتين من حالات ضرب متعددات الحدود كما سنستنتج قاعدتي التربيع الخاصة بهاتين الحالتين.
ذات الحدين
رأينا سابقا عملية ضرب متعددتي مختلفتين، ولكن كيف سيتم ذلك في حالة ضرب متعددتي متشابهتين أي أن كل منهما يتكون من نفس الحدين؟ لدينا حالتين خاصتين سندرسهما فيما يلي.
وبما أننا سنستخدم متعددات تتكون من حدين فقط فمن الجيّد معرفة أن هذا النوع من المتعددات يُسمى بذات الحدين.
قاعدة التربيع الأولى
لنشرح أولا مثال على ذلك بحيث لدينا ذات حدين تتكون من مجموع حدين مضروب فـي نفسه (أي مُربع).
بنفس الطريقة التي استخدمناها في القسم السابق يمكننا حساب حاصل ضرب مجموع أي حدين في نفسه:
$$(x+3)^2=(x+3)\cdot (x+3)=$$
$$=x\cdot x+x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=$$
$$=x^2+6x+3^2$$
الآن وصلنا الى ناتج هذا الضرب في هذا المثال. ولكن كيف سيكون ذلك بصورة عامة، أي عندما يكون لدينا التعبير (a + b) ونريد حاصل تربيعه؟ فقد يكون كل من a و b عبارة عن حدود متغيرة أو ثوابت، أو ربما يكون لدينا متعددة حدود تتكون من حد متغير وحد ثابت.
لنحاول تربيع هذا التعبير العام:
$$(a+b)^2=(a+b)\cdot (a+b)=$$
$$=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=$$
$$=a^2+2ab+b^2$$
ما وصلنا إليه يُسمى بقاعدة التربيع الأولى وهي عبارة عن ناتج تربيع مجموع الحدين a و b.
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
دعونا نرى مثال على ذلك
$$(3+2)^2=3^2+2\cdot3\cdot2+2^2$$
الطرف الأيسر (VL): \( (3+2)^2=5^2=25\)
الطرف الأيمن (HL): \(3^2+2 \cdot 3 \cdot 2+2^2 = 9+12+4=25\)
في هذا المثال (a=3) و (b=2).
قاعدة التربيع الثانية
ما وصلنا إليه أعلاه هو عبارة ناتج تربيع تعبير يتكون من مجموع حدين داخل قوسين (بينهما علامة زائد). والآن سنرى الناتج في حالة أن التعبير المُراد تربيعه يتكون من فرق بين حدين (بينهما علامة ناقص)
مرة أخرى سنستخدم الرموز a و b كحدود للتعبير داخل القوسين:
$$(a-b)^2=(a-b)\cdot (a-b)=$$
$$=a\cdot a-a\cdot b-b\cdot a+b\cdot b=$$
$$=a^2-2ab+b^2$$
ما وصلنا إليه هنا هو قاعدة التربيع الثانية، وهو عبارة عن ناتج تربيع الفرق بين الحدين a و b.
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$
مثال آخر
$$(3-2)^2=3^2-2\cdot3\cdot2+2^2$$
الطرف الأيسر (VL): \( (3-2)^2=1^2=1 \)
الطرف الأيمن (HL): \( 3^2-2 \cdot 3 \cdot 2+2^2 = 9-12+4=1\)
أيضا في هذا المثال (a=3) و (b=2).
من الجيد أن نتدرب على قاعدتي التربيع أعلاه وحفظهما عن ظهر قلب، لأنهما مفيدتان جدا في عملية تحليل متعددات الحدود على سبيل المثال، وهذا ما سندرسه لاحقا في هذا الباب.
ولمن يرغب في أن يتدرب أكثر على ذلك لدينا فيديو خاص بهذا الدرس حيث يشرح فيه الأستاذ Morgan Alling كيفية الوصول لقاعدة التربيع الأولى. يمكنك إيجاد هذا الفيديو هنا (باللغة السويدية).
فيديوهات الدرس (باللغة السويدية)
قاعدة التربيع الأولى.
قاعدة التربيع الثانيه.
إليكم كيفية إشتقاق قواعد التربيع في هذا الفيديو.
هنا سنشرح مثالين على قواعد التربيع.