تعريف المُشتقة بإستخدام المسافة-h

في الأقسام السابقة قمنا بصياغة نسبة التغيُّر ورأينا كيف يمكن حساب قيمة نهاية الدالة. الآن سنقوم بصياغة تعبير عام يمكن استخدامه لحساب قيّم جميع النهايات. لنتخيل أن لدينا الدالة العامة $y =f (x)$ ونختار نقطة عشوائية إحداثياتها $(x, f (x))$:

ثم نختار نقطة أخرى تبعُد مسافة h من النقطة الأولى $(x, f (x))$. ولتكن إحداثيات النقطة الثانية هي $((x + h), f (x + h))$:

يمكن حساب قيمة-k للخط الواصل بين هاتين النقطتين كما يلي:

$$k=\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

فإذا إقتربت النقطة $((x + h), f (x + h))$ من النقطة $(x, f (x))$ أكثر فأكثر فهذا يعني أن المسافة h تقترب من الصفر:

$$h\rightarrow 0$$

(هذا هو نفس المنطق الذي استخدمناه في قسم ميل المماس، حيث عرّفنا صيغة نسبة التغيُّر، ولكن في المرة السابقة إستخدمنا النقطة $(2, f (2))$ وجعلنا النقطة الأخرى $(x, f (x))$ تقترب من النقطة الأولى وذلك بإقتراب $x$ من $-2$.

قيمة النهاية لــ $(x, f (x))$ ستكون كما يلي:

$$k=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

هذا التعبير يُسمى بــ "تعريف المشتقة بإستخدام المسافة-h".

لنستخدم هذه الصيغة لحساب مشتقة الدالة $f$ عند النقطة التي يكون فيها $x =a$, أي لنحسب $f '(a)$:

$$f'(x) =\lim_ {h\rightarrow 0} \frac{f (x + h) -f (x)}{h}$$

$$f'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

فيديوهات الدرس

تعريف المُشتقة بإستخدام المسافة-h.

الإشتقاق باستخدام تعريف المُشتقة بإستخدام المسافة-h.