الدوال الأُسية

في هذا القسم سنتعمق قليل في الدوال الأُسية العامة ونشرح كيف يمكننا إشتقاقها. يمكن كتابة الدوال الأُسية بصورة عامة كما يلي:

$$f(x)=C\cdot a^x$$

حيث أن C و a ثوابت.

مُشتقة الدالة \(\mathbf{f(x)=a^x}\)

لكي نشتق الدالة الأُسية العامة سنحتاج أولاً الى إعادة كتابة الدالة في صورة أُسية أساسها العدد \(e\), وهذا ما تعلمناه في قسم اللوغاريثم الطبيعي السابق. في هذه الحالة يمكننا إستخدام قاعدة إشتقاق الدالة f(x)=e^kx.

يمكننا إعادة كتابة الدالة الأُسية كما يلي:

$$f(x)=a^x=e^{\ln a^x}=e^{x \ln a}$$

الآن نلاحظ أن الدالة أصبحت في الصورة \(f(x)=e^{kx}\) وهي عبارة عن دالة أُسية أساسها العدد \(e\) وهذا النوع من الدوال تعلمنا كيفية إشتقاقه في الأقسام السابقة. بالتالي يمكننا الحصول على مُشتقتها وفقا لقاعدة إشتقاق الدالة \(f(x)=e^{kx}\):

$$f'(x)= \ln a \cdot e^{x \ln a}$$

بنفس الطريقة كما أعدنا كتابة المعادلة في صورة أُسية أساسها العدد \(e\) يمكننا إعادة كتابة المُشتقة في الصورة الأصلية:

$$f'(x)= \ln a \cdot e^{x \ln a}= \ln a \cdot e^{\ln a^x}=\ln a \cdot a^x$$

يمكننا تلخيص ذلك في قاعدة التفاضُل التالية:

مُشتقة الدالة \(f(x)=a^x\) هي \(f'(x)= \ln a \cdot a^x\)

---

لنأخذ مثال

أحسب مُشتقة الدالة \(f(x)=3\cdot 5^x\)

يمكننا إستخدام قاعدة التفاضل أعلاه وإيجاد المُشتقة كما يلي:

$$f'(x)=3\cdot \ln(5) \cdot 5^x$$

مُشتقة الدالة \(\mathbf{f(x)=a^{kx}}\)

رأينا أعلاه كيف يمكننا إشتقاق الدالة \(f(x)=a^x\), حينها كان الثابت \(k=1\). الدوال الأُسية التي تحتوي على ثابت آخر في أُسها غير الواحد الصحيح يُمكن إشتقاقها بنفس الطريقة أعلاه. الخطوة الأولى هي إعادة كتابة (صياغة) الدالة بحيث تصبح في صورة أٌسية أساسها العدد \(e\):

$$f(x)=a^{kx}=e^{\ln a^{kx}}=e^{kx \ln a}=$$

وفقا لقاعدة إشتقاق الدالة \(f(x)=e^{kx}\) يُمكننا الحصول على:

$$f'(x)= k \cdot \ln a \cdot e^{kx \ln a}$$

بإعادة كتابتها في الصورة الأصلية يمكننا الحصول على ما يلي:

$$f'(x)= k \cdot \ln a \cdot e^{kx \ln a}= k \cdot \ln a \cdot e^{\ln a^{kx}}=k \cdot \ln a \cdot a^{kx}$$

يمكننا تلخيص ذلك في قاعدة التفاضُل التالية:

مُشتقة الدالة \(f(x)=a^{kx}\) هي \(f'(x)= k\cdot \ln a \cdot a^{kx}\)

---

مثال 1

إشتق الدالة \(f(x)=3\cdot4^{3x}\)

يمكننا الحصول على تفاضُل (مُشتقة) هذه الدالة بتطبيق القاعدة التي درسناها أعلاه مباشرة :

$$f'(x)=3 \cdot 3 \cdot \ln(4) \cdot 4^{3x}=9 \cdot \ln(4)\cdot 4^{3x}$$

---

مثال 2

تتزايد درجة حرارة الفُرن (T) وفقاً للدالة التالية, حيث \(x\) هي الزمن بالدقائق. أحسب مُعدّل تزايد درجة حرارة الفُرن في الدقيقة عندما يكون الزمن 15 دقيقة.

$$T(x)=120\cdot 1,09^x$$

الحل:

المطلوب في هذا السؤال هو معدل الزيادة في درجة الحرارة لكل دقيقة عندما يكون الزمن 15 دقيقة, وهو عبارة عن:

$$T'(15)$$

بالتالي سنقوم بإيجاد مُشتقة الدالة ومن ثم نحسب قيمة المُشتقة عندما تكون قيمة المُتغير \(x\) (الزمن) هي 15 دقيقة.

يمكن تفاضُل هذه الدالة بإستخدام قاعدة تفاضُل الدالة \(f(x)=a^x\):

$$T'(x)=120\cdot \ln(1,09) \cdot 1,09^{x}$$

بتعويض قيمة \(x=15\) في المُشتقة يمكننا الحصول على:

$$T'(15)=120 \cdot \ln(1,09) \cdot 1,09^{15} \approx 37,7$$

الإجابة: مُعدّل الزيادة في درجة حرارة الفُرن عندما يكون الزمن 15 دقيقة هو 37,7 درجة مئوية في الدقيقة.

فيديو الدرس

شرح مفهوم العدد \(e\) وكيفية إعادة كتابة الأعداد في صورة أُسية أساسها العدد \(e\).