إشتقاق الدالة \(e^{kx}\)

في القسم السابق تعلمنا أن مُشتقة الدالة الأُسية f(x)=e^x هي f'(x)=e^x. كيف سيكون شكل مُشتقة الدالة الأُسية إذا كان لدينا عدد ثابت k في أُسها غير الواحد الصحيح, كالدالة f(x)=e^3x على سبيل المثال؟

في هذا القسم سندرس مُشتقة الدوال الأُسية من هذا النوع

$$f(x)=e^{kx}$$

مُشتقة الدالة f(x)=e^kx

لنبدأ بإشتقاق الدالة f(x)=e^3x. سنقوم بإشتقاق هذه الدالة بإستخدام تعريف المُشتقة الأولي:

$$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

سنعوض قيمة الدالة \(f(x)\) ونُبسط لأبسط صورة ممكنة:

$$\begin{align} f'(x) = & \lim_{h \to 0}\frac{e^{3(x+h)}-e^{3x}}{h} \\ & \\= & \lim_{h \to 0}\frac{e^{3x}\cdot e^{3h}-e^{3x}}{h} \\ & \\ = & \lim_{h \to 0}\frac{ e^{3x}(e^{3h}-1)}{h}\end{align}$$

يمكننا استخراج العامل \(e^{3x}\) خارج النهاية لأنه لا يؤثر على قيمة النهاية في حالة \(h \to 0\):

$$e^{3x}\cdot\lim_{h \to 0}\frac{ e^{3h}-1}{h}$$

لإيجاد قيمة هذه النهاية عندما تؤول h الى الصفر \((h\to0)\) سنقوم بجدولة قيّم تعبير النهاية لنرى كيف ستصبح هذه القيمة عندما تقترب h من الصفر:

\(\dfrac{ e^{3h}-1}{h}\)	\(h\)
\(3,49859...\)	\(0,1\)
\(3,04545...\)	\(0,01\)
\(3,00005...\)	\(0,00001\)

من الجدول نلاحظ أن قيمة الدالة تقترب من الــ 3 كلما إقتربت الــ h من الصفر. وهذا يعني أن:

$$e^{3x}\cdot\lim_{h \to 0}\frac{ e^{3h}-1}{h} = e^{3x} \cdot 3$$

بالتالي أوجدنا مُشتقة الدالة f(x)=e^3x, وهي f'(x)=3e^3x.

بنفس طريقة إيجاد مُشتقة الدالة f(x)=e^3x يمكننا إيجاد مُشتقة الدالة f(x)=e^kx ويمكننا تلخيص ذلك في القاعدة التالية:

مُشتقة الدالة \(\mathbf{f(x)=e^{kx}}\)  هي  \(\mathbf{f'(x)=k\cdot e^{kx}}\)

حيث أن k عدد ثابت.

فيديو الدرس

في هذا الفيديو سنشرح كيف يمكننا إشتقاق دالة أُسية أساسها العدد e وتحتوي على عدد ثابت غير الواحد الصحيح  في أُسها (القوة) بجانب المُتغيّر المُستقِل.