التعبيرات النسبية
عندما يكون لدينا متعددتي حدود في شكل خارج قسمة ففي هذه الحالة يُسمى التعبير بتعبير نسبي.
فيما يلي مثالين لتعبيرين نسبيين
$$\frac{6x+2}{3x}$$
$$\frac{5x^2+2x}{x+6} $$
في المثال الأول لدينا خارج قسمة بين البسط \(6x+2\) والمقام \(3x\)؛ وفي المثال الثاني لدينا خارج قسمة بين البسط \(5x^2+2x\) والمقام \(x+ 6\).
خصائص التعبيرات النسبية مشابهة لخصائص الكسور الإعتيادية وبنفس الطريقة كما في حالة الكسور الإعتيادية يجب ألا يكون المقام صفر وذلك لأن ناتج القسمة على صفر عبارة عن قيمة غير محددة (غير معروفة). غالبا ما يكون من السهل رؤية ما إذا كان المقام صفر في حالة الكسور الاعتيادية. عندما يكون لدينا متعددة حدود في المقام فقد تصبح قيمة المقام صفر لقيّم معينة للمتغير المذكور ولكن ليس لجميع القيّم الأخرى.
في المثال الثاني أعلاه لا يمكن للمتغير \(x\) أن يأخذ القيمة \(-6\).
$$\frac{5x^2+2x}{x+6} $$
$$x+6\neq 0\Rightarrow x\neq -6$$
بنفس الطريقة يمكن معرفة قيّم المتغير \(x\) الغير صالحة في المثال الأول أعلاه.
إختصار ومُضاعفة التعبيرات النسبية
يمكننا إختصار أو مضاعفة التعبيرات النسبية بنفس طريقة اختصار ومضاعفة الكسور الاعتيادية كما تعلمنا في رياضيات 1.
سابقا في هذا الكورس رأينا كيف يمكن تحليل متعددات الحدود إلى عوامل. عادة ما يتم تحليل متعددات حدود التعبيرات النسبية إلى عوامل لتسهيل اجراء عملية إختصار التعبير.
مثال على ذلك إذا حاولنا إختصار التعبير النسبي التالي
$$\frac{x^{2}+2x}{x}$$
يمكننا تحليل البسط إلى عوامل بإستخراج العامل \(x\) كعامل مشترك في حدي البسط، ومن ثم نحصل على التعبير النسبي التالي:
$$\frac{x\cdot (x+2)}{x}$$
الآن نلاحظ أن لدينا العامل \(x\) في كل من البسط والمقام ولذلك يمكن إختصاره من التعبير. وفي هذه الحالة نقسم كل من البسط والمقام على العامل الذي نريد اختصاره وهو \(x\) ويصبح لدينا التعبير التالي
$$x+2$$
وهذا التعبير مطابق للتعبير النسبي الذي بدأنا به ولكن مكتوب في صورة مبسطة.
عندما يتم اختصار تعبير رياضي الى أقصى حد ممكن بحيث لا يمكن إختصاره أكثر من ذلك فهذا يعني أن التعبير في أبسط صورة له. وفي المثال أعلاه لدينا التعبير \((x + 2)\) ولا يمكننا إختصاره أكثر من ذلك - لذا فإن هذا التعبير مكتوب في أبسط صورة له.
في بعض الأحيان قد نحتاج لمضاعفة التعبير النسبي بدلا من الإختصار.
تتم مضاعفة التعبير النسبي بنفس طريقة الإختصار ولكن بعملية حسابية عكسية. وبدلا من قسمة كل من البسط والمقام علـى عامل معين سنضرب كل من البسط والمقام في العامل.
مثال على هذه الحالة إذا كان لدينا تعبير رياضي يتألف من مجموع عدد من التعبيرات النسبية ونريد كتابة هذا التعبير (المجموع) باستخدام شريط كسر اعتيادي مشترك أي نريد جمعهم وكتابتهم في صورة كسر واحد، ولذلك نريد أن يكون لجميع التعبيرات مقام مشترك. سنرى مثال على ذلك بعد قليل.
نبدأ بمثال يكون لدينا فيه التعبير النسبي التالي:
$$\frac{x+1}{x}$$
على سبيل المثال يمكننا مضاعفة هذا التعبير بالعامل \(x\) على النحو التالي:
$$\frac{x+1}{x}=$$
$$=\frac{x\cdot (x+1)}{x\cdot x}=$$
$$=\frac{x^{2}+x}{x^{2}}$$
أي قمنا بضرب كل من البسط والمقام فـي \(x\). وبذلك تمت إعادة كتابة التعبير بحيث أصبح مقامه \(x^ 2\) بدلا من \(x\).
جمع وطرح التعبيرات النسبية
قواعد جمع وطرح التعبيرات النسبية تنطبق عليها نفس قواعد جمع وطرح الكسور الإعتيادية. إذا كان لدينا تعبيرات نسبية لها نفس المقام يمكننا كتابتها على شريط كسري مُشترك ومن ثم جمع أو طرح البسطين مباشرة.
أما إذا كان التعبيرين النسبيين لهما مقامين مختلفين ففي هذه الحالة يجب أولا إعادة كتابة التعبيرين بحيث يكون لهما نفس المقام أي نقوم بتوحيد المقام. منذ لحظات رأينا كيف يمكننا إعادة كتابة التعبيرات النسبية عن طريق الإختصار أو المضاعفة والآن جاء دور إستخدامهما.
لنأخذ المثال التالي على مثل هذه الحالات:
$$\frac{x+1}{x}+\frac{x-2}{x^{2}}$$
نلاحظ أن الحد الأول لهذا التعبير الرياضي قابلناه في المثال السابق. هذا التعبير الرياضي عبارة عن مجموع حدين وكل حد عبارة عن تعبير نسبي له مقام مختلف من مقام الآخر. لذلك لا يمكننا جمع هاذين التعبيرين مباشرة - سنقوم أولا بإعادة كتابة أحد التعبيرين بحيث يكون لهما نفس المقام.
في السابق رأينا أن الحد الأول
$$\frac{x+1}{x}$$
يمكن مضاعفته بـ \(x\) بحيث يمكن كتابته كما يلي
$$\frac{x^{2}+x}{x^{2}}$$
الآن بعد مضاعفة هذا الحد أصبح الحدين لهما نفس المقام وهو \(x^2\). وفي هذه الحالة يمكننا كتابتهما على شريط كسري واحد وجمع البسطين مباشرة:
$$\frac{x^{2}+x}{x^{2}}+\frac{x-2}{x^{2}}$$
$$=\frac{x^{2}+x+x-2}{x^{2}}$$
$$=\frac{x^{2}+2x-2}{x^{2}}$$
الآن أصبح لدينا تعبير نسبي واحد مقامه \(x^2\) بدلا من تعبيرين نسبيين لهما مقامين مختلفين (\(x\) و \(x^2\))
كيف ستكون النتيجة إذا كان لدينا عملية طرح هاذين التعبيرين النسبيين بدلا من جمعهما كما في المثال أعلاه؟ بعد مضاعفة التعبير النسبي الأول سيصبح لدينا:
$$\frac{x^{2}+x}{x^{2}}-\frac{x-2}{x^{2}}$$
$$=\frac{x^{2}+x-(x-2)}{x^{2}}$$
$$=\frac{x^{2}+x-x+2)}{x^{2}}$$
$$=\frac{x^{2}+2}{x^{2}}$$
كيف نعرف ما إذا كنا سنجري عملية إختصار أم مضاعفة التعبير النسبي وكيف يمكن تحديد العامل؟ حسنا! هذا يعتمد على ما نحاول الوصول إليه. في المثال الأول أعلاه لاحظنا أنه من الجيّد أن يكون للحدين نفس المقام، \(x^2\) لأننا نريد جمع التعبيرين. وهذا ما استطعنا القيام به من خلال مضاعفة التعبير النسبي الأول بضربه فـي العامل \(x\). في حالات أخرى قد يكون من المناسب استخدام عوامل أخرى للمضاعفة أو الإختصار.
ضرب وقسمة التعبيرات النسبية
أيضا قواعد ضرب وقسمة التعبيرات النسبية تنطبق عليها نفس قواعد ضرب وقسمة الكسور الإعتيادية.
تتم عملية ضرب التعبيرين النسبيين فـي بعضهما البعض بضرب البسطين فـي بعضهما بصورة منفصلة والمقامين فـي بعضهما بصورة منفصلة.
مثال على ضرب التعبيرات النسبية:
$$\frac{x+1}{3}\cdot \frac{x^{2}+2}{x-2}=$$
$$=\frac{(x+1)\cdot (x^{2}+2)}{3\cdot (x-2)}=$$
$$=\frac{x^{3}+2x+x^{2}+2}{3x-6}=$$
$$=\frac{x^{3}+x^{2}+2x+2}{3x-6}$$
أيضا تتم عملية قسمة التعبيرين النسبيين علـى بعضهما البعض بنفس طريقة قسمة الكسرين الاعتياديين علـى بعضهما البعض.
وفي هذه الحالة يتم ضرب البسط في مقلوب المقام. في عملية قسمة الكسور الاعتيادية في الكورس رياضيات 1 تطرقنا إلى الصيغة الرياضية التالية وهي تنطبق أيضا على قسمة التعبيرات النسبية:
$$\frac{\left ( \frac{a}{b} \right )}{\left ( \frac{c}{d} \right )}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}$$
دعونا نأخذ مثال على قسمة التعبيرات النسبية لنرى كيف يمكن إجراء ذلك:
$$\frac{\left ( \frac{3}{2x+2} \right )}{\left ( \frac{x}{x+1} \right )}=\frac{3\cdot (x+1)}{(2x+2)\cdot x}$$
نلاحظ أن هذا التعبير يمكن تبسيطه أكثر من ذلك. ففي هذه الحالة يمكننا تحليل العامل الأول في المقام ومن ثم إختصار التعبير:
$$\frac{3\cdot (x+1)}{(2x+2)\cdot x}=$$
$$=\frac{3\cdot (x+1)}{2\cdot (x+1)\cdot x}=$$
$$=\frac{3}{2x}$$
فيديو الدرس
تبسيط التعبيرات النسبية التي تحتوي على عِدة كسور.