الدوال الأولية
في قسم المُشتقات تعلمنا كيف يمكننا إيجاد ال المُشتقة \(f'\) لدالة معروفة \(f\)، ومن ثم تحصلنا على عدد من قواعد التفاضل لمجموعة من الدوال المختلفة.
في هذا القسم سنرى كيف يمكن إجراء العملية العكسية لذلك، أي كيف يمكن إيجاد الدالة \(f\) (الدالة الأصلية) من مُشتقة معلومة \(f'\). هذه الدالة الأصلية تُسمى بالدالة الأولية وهي دالة مفيدة في عدد من السياقات المختلفة، وهذا ما سنراه قريبا.
إذا كان لدينا مشتقة الدالة \(f' (x)\) فإن الدالة الأولية لهذه المشتقة هي \(f (x)\). الدالة الأولية للدالة \(f (x)\) نفسها يُرمز لها بالرمز \(F (x)\).
بصورة عامة تكون الدالة \(F\) عبارة عن دالة أولية للدالة \(f\) إذا كانت مشتقة الدالة الأولية \(F\) تساوي الدالة \(f\):
$$F'(x)=f(x)$$
نبدأ بمثال بسيط
إذا كان لدينا المُشتقة
$$f'(x)=2x$$
ونريد إستنتاج الدالة الأصلية، أي نبحث عن الدالة التي إذا تم اشتقاقها ستنتج المُشتقة أعلاه.
الدالة الأصلية التي نبحث عنها ينبغي أن تكون كالدالة التالية تقريبا:
$$f(x)=x^2$$
وذلك لأن مشتقتها تُعادل المُشتقة المُعطية أعلاه والتي سنبدأ منها. ولكن ما الذي سيحدث إذا كانت الدالة الأصلية كالدالة التالية بدلا من الدالة أعلاه؟
$$f(x)=x^2+4$$
نعم إذا تم إشتقاق هاتين الدالتين المُختلفتين سنحصل على نفس النتيجة أي سنحصل على نفس المُشتقة بغض النظر عن قيمة الحد الثابت. في الدالة الأولى كانت قيمة الحد الثابت 0 وفي الدالة الثانية كانت قيمة الثابت 4. بالتالي عندما نبحث عن الدالة الأصلية يجب إضافة حد ثابت كما في تعبير الدالة التالي:
$$ f(x)=x^2+C$$
لنأخذ مثال آخر أكثر تعقيدا يتبع نفس النمط ولكن يحتوي على درجة أعلى
الدالة
$$f(x)=4x^{6}+2x-12$$
مشتقتها
$$f'(x)=24x^{5}+2$$
والدالة الأولية (الأصلية) هي
$$F(x)=\frac{4x^{7}}{7}+x^{2}-12x+C$$
وهي الدالة التي إذا تم اشتقاقها ستعطي الدالة \(f (x)\) أعلاه
الجدول التالي يوضح عدد من العلاقات بين الدالة ودالتها الأولية:
| $$f(x)$$ | $$F(x)$$ |
| $$x^{-2}$$ | $$\frac{x^{-1}}{-1}+C$$ |
| $$1$$ | $$x+C$$ |
| $$x$$ | $$\frac{x^{2}}{2}+C$$ |
| $$x^2$$ | $$\frac{x^{3}}{3}+C$$ |
| $$x^n$$ | $$\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$ |
العلاقة العامة الأخيرة في الجدول تنطبق على كل الحالات ما عدا حالة واحدة:
$$n\neq -1$$
بنفس المفهوم تنطبق العلاقة التالية على جميع الدوال الأُسية ودوالها الأولية:
| $$f(x)$$ | $$F(x)$$ |
| $$e^{kx}$$ | $$\frac{e^{kx}}{k}+C$$ |
حيث أن \(k\neq 0\)
الشروط الأولية
كما توصلنا أعلاه إلى أن الدوال الأولية تحتوي على حد ثابت \((C)\) وسيختفي هذا الثابت باشتقاق الدالة الأولية.
إذا كان لدينا على سبيل المثال مُشتقة معلومة ونريد أن نحصل منها على الدالة الأصلية، عندئذ قد نحتاج الى تحديد قيمة الحد الثابت. كيف يمكن إيجاد قيمة الحد الثابت \(C\)؟ نعم، يمكن إيجاد قيمة الحد الثابت \(C\) إذا كان لدينا معلومات إضافية كالشروط الأولية.
مثال على ذلك
إوجد الدالة الأصلية من المُشتقة التالية
$$f'(x)=2x$$
إذا علمت أن
$$f(0)=5$$
يمكننا إيجاد تعبير الدالة الأولية من الجدول أعلاه (تذكر أن لدينا المعامل 2 أمام الــ \(x\)):
$$f(x)=2\cdot \frac{x^{2}}{2}+C=x^{2}+C$$
يمكننا إيجاد قيمة الثابت بإستخدام الشرط الإبتدائي \((f (0) =5)\) كما يلي:
$$f(0)=0^{2}+C=5$$
أي أن قيمة الحد الثابت \(C\) يجب أن تكون \(5\) لكي يتحقق الشرط المُعطى. بالتالي التعبير الكامل للدالة الأصلية هو:
$$ f(x)=x^{2}+5$$
الآن لدينا قواعد يمكن استخدامها لإيجاد الدوال الأولية لدوال القوى والدوال الأُسية. أيضا تعلمنا كيف يمكن استخدام الشروط الأولية لإيجاد قيمة ثابت التكامل ومن ثم الدالة الأولية الكاملة.
في القسم القادم سنتعلم كيفية استخدام الدوال الأولية.
فيدوهات الدرس
في هذا الفيديو سنشرح مفهوم الدوال الأولية ونأخذ أمثلة على ذلك.
مثال على إيجاد الدالة الأولية.