معادلات الدرجة الثانية
تعلمنا سابقا ما يُسمى بمعادلات الدرجة الثانية وكيف يمكننا حل مثل هذه المعادلات باستخدام صيغة-pq. لنستعرض فيما يلي كيفية حل معادلات الدرجة الثانية.
المعادلة التالية تُمثل نموذج كامل لمعادلات الدرجة الثانية:
$$x^{2}+16x-4=0$$
لذلك يجب أن يكون هناك حد يحتوي على \(x^2\)، حد يحتوي على \(x\) وحد ثابت. والطرف الأيمن يساوي صفر.
إذا كانت قيمة معامل الحد \(x^2\) غير الواحد الصحيح سنحتاج إلى إعادة كتابة التعبير أولا وذلك بقسمة جميع الحدود على هذا المعامل.
فيما يلي مثال عندما تكون قيمة معامل الحد \(x^2\) تساوي 2.
$$2x^{2}+8x-2=0$$
$$\frac{2x^{2}}{2}+\frac{8x}{2}-\frac{2}{2}=\frac{0}{2}$$
$$x^{2}+4x-1=0$$
أيضا من الضروري أن يكون لدينا صفر فقط في الطرف الأيمن. إذا كان هناك شيء ما في الطرف الأيمن يجب إعادة كتابة المعادلة بحيث نحصل على صفر في الطرف الأيمن قبل المواصلة في الحل بتطبيق صيغة-pq. ما سنقوم به هو طرح ما لدينا في الطرف الأيمن من كلا الطرفين الأيسر والأيمن – بالتالي الطرف الأيمن سيصبح صفر.
فيما يلي مثال على ذلك:
$$x^{2}+4x-1=7$$
$$x^{2}+4x-1-7=7-7$$
$$x^{2}+4x-8=0$$
عندما يكون لدينا معادلة من الدرجة الثانية مكتوبة في الصيغة المطلوبه لتطبيق صيغة-pq يمكننا المواصله في حل مثل هذا النوع من المعادلات باستخدام صيغة-pq.
فيما يلي صيغة-pq:
$$x^{2}+px+q=0$$
$$x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{p}{2} \right )^{2}-q}$$
الآن سنشرح مثال على كيفية تطبيق هذه الصيغة لحل معادلات الدرجة الثانية
$$x^{2}+12x-13=0$$
نبدأ بتحديد قيمتي p و q. لاحظ ان قيمة q سالبة في هذه الحالة:
$$p=12$$
$$q=-13$$
$$x=-\frac{12}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{12}{2} \right )^{2}-(-13)}$$
$$x=-6\pm \sqrt{36+13}=-6\pm \sqrt{49}=$$
$$=-6\pm 7 \Rightarrow$$
$$\begin{align*} x_{1} &=1 \\ x_{2} &=-13 \end{align*}$$
معادلة الدرجة الثانية غالبا ما يكون لها حلان ولكن قد يكون لها حل واحد أو قد لا يكون لها أي حل.
فيما يلي لدينا مثال لمعادلة من الدرجة الثانية لها حل واحد فقط
$$x^{2}-8x+16=0$$
$$x=-\frac{(-8)}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{(-8)}{2} \right )^{2}-16}$$
$$x=4\pm \sqrt{(-4)^{2}-16}=4\pm \sqrt{0}$$
$$x_{1}=x_{2}=4$$
في بعض الأحيان قد نتعامل أيضا مع معادلات من الدرجة الثانية ليس لها حل حقيقي. وهذا يحدث عندما يكون ناتج التعبير تحت الجذر التربيعي في صيغة-pq عبارة عن عدد سالب.
معادلة الدرجة الثانية التالية ليس لها حل حقيقي
$$x^{2}+10x+26=0$$
$$x=-\frac{10}{2} \pm\sqrt{\left (\frac{10}{2} \right )^{2}-26}$$
$$x=-5 \pm\sqrt{5^{2}-26}=-5\pm \sqrt{-1}$$
بما أنه لا يمكن حساب الجذر التربيعي لـ \(-1\) فإن المعادلة ليس لها حل حقيقي.
فيديو الدرس
في هذا الفيديو سنشرح صيغة-PQ وكيفية اشتقاقها.